Free rectangular $n$-tuple semigroups

$n$-кратной полугруппой называется непустое множество $G$, снабженное $n$ бинарными операциями $\fbox{1}\,, \fbox{2}\,, ..., \fbox{n}\,$, удовлетворяющими аксиомам $(x\fbox{r} \, y) \fbox{s}\, z=x\fbox{r}\,(y\fbox{s}\,z)$ для всех $x,y,z \in G$ и $r,s\in \{1,2,...,n\}$. Это понятие рассматривал Н. А. Корешков в контексте теории $n$-кратных алгебр ассоциативного типа. Доппельполугруппы являются $2$-кратными полугруппами. $n$-кратные полугруппы имеют связи с интерассоциативными полугруппами, димоноидами, триоидами, доппельалгебрами, дуплексами, $g$-димоноидами и рестриктивными биполугруппами. Если операции $n$-кратной полугруппы совпадают, то она превращается в полугруппу. Таким образом, $n$-кратные полугруппы являются обобщением полугрупп.
Класс всех $n$-кратных полугрупп образует многообразие. Недавно были построены свободная $n$-кратная полугруппа, свободная коммутативная $n$-кратная полугруппа, свободная $k$-нильпотентная $n$-кратная полугруппа и свободное произведение произвольных $n$-кратных полугрупп. Класс всех прямоугольных $n$-кратных полугрупп, то есть $n$-кратных полугрупп с $n$ прямоугольными полугруппами, образует подмногообразие многообразия $n$-кратных полугрупп.
В этой статье мы строим свободную прямоугольную $n$-кратную полугруппу и характеризуем наименьшую прямоугольную конгруэнцию на свободной $n$-кратной полугруппе.