$n$-короны в разбиениях тора на множества ограниченного остатка

Теория геометрических подстановок Арно-Ито позволяет строить последовательности обобщенных перекладывающихся разбиений $d$-мерного тора. Эти разбиения состоят из параллелепипедов $d+1$ типа, а действие некоторого сдвига тора на разбиении сводится к перекладыванию $d+1$ центрального параллелепипеда. Более того, множество вершин всех параллелепипедов разбиения представляет собой фрагмент орбиты нуля относительно этого сдвига тора. Рассматриваемые разбиения активно используются в различных задачах теории чисел, комбинаторики и теории динамических систем.
В настоящей работе изучается локальная структура разбиений тора, получаемых на основе геометрических подстановок. $n$-короной параллелепипеда называется множество всех параллелепипедов, отстоящих от данного на расстояние не более $n$ в естественной метрике разбиения. Задача состоит в описании всех возможных типов $n$-корон.
Каждому параллелепипеду разбиения естественным образом присваивается номер – его номер в орбите соответствующего центрального параллелепипеда относительно сдвига тора. Доказано, что множество всех номеров распадается на конечное число полуинтервалов, определяющих возможные типы $n$-корон. Более того, доказано, что границы соответствующих полуинтервалов определяются номерами параллелепипедов, входящих в $n$-корону набора из $d+1$ центрального параллелепипеда.
Показано, что этот результат можно рассматривать как некоторое многомерное обобщение знаменитой теоремы о трех длинах. Ранее аналогичное описание было получено для 1-корон разбиений тора получаемых при помощи одной конкретной геометрической подстановки: подстановки Рози. Кроме того, аналогичные результаты ранее были получены для ряда квазипериодических разбиений плоскости.
В заключении сформулирован ряд направлений для дальнейшего исследования.