О поведении функций, родственных функции Чебышева

Многие вопросы теории чисел связаны с исследованием рядов Дирихле
$$f(s)=\sum_{n=1}^{\infty} a_nn^{-s}$$
и сумматорных функций
$$\Phi(x)=\sum_{n\leq x} a_n$$
их коэффициентов. Наиболее известным примером ряда Дирихле является дзета-функция Римана $\zeta(s)$, определенная для любого комплексного числа $s=\sigma+it$ с действительной частью $\Re s=\sigma> 1$ как
$$ \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}. $$
Квадрат дзета-функции
$$ \zeta^{2}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tau(n)}{n^s}, \qquad \Re s >1, $$
связан с функцией делителей $\tau(n)=\sum_{d|n}1$, дающей число натуральных делителей натурального числа $n$. Сумматорной функцией ряда Дирихле $\zeta^2(s)$ является функция $D(x)=\sum_{n\leq x}\tau(n)$, вопросы асимптотической оценки которой известны как проблема делителей Дирихле. В общем случае,
$$ \zeta^{k}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tau_k(n)}{n^s}, \qquad\Re s>1, $$
где функция $\tau_k(n)=\sum_{n=n_1\cdot ...\cdot n_k}1$ дает число представлений натурального числа $n$ в виде произведения $k$ натуральных сомножителей. Cумматорной функцией ряда Дирихле $ \zeta^k(s)$ является функция $D_k(x)=\sum_{n\leq x}\tau_k(n)$. Ее изучение — это многомерная проблема делителей Дирихле.
Логарифмическая производная $\frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}$ дзета-функции представима в виде
$$ \frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}=-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^s},\quad\Re s >1. $$
Здесь $\Lambda(n)$ — функция Мангольдта, которая определяется как $\Lambda(n)=\log p$, если $n=p^{k}$ для простого $p$ и натурального $k$, и как $\Lambda(n)=0$, иначе. Таким образом, функция Чебышева $\psi(x)=\sum_{n\leq x}\Lambda(n)$ является сумматорной функцией коэффициентов ряда Дирихле
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^s}, $$
соответствующего логарифмической производной $\displaystyle\frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}$ дзета-функции Римана. Она хорошо известна в аналитической теории чисел и связана со многими классическими задачами, прежде всего, с асимптотическим законом распределения простых чисел.
В частности, хорошо известно представление функции $\psi(x)$ по нулям дзета-функции:
$$ \psi(x)=x-\sum_{|\Im \rho|\leq T}\frac{x^{\rho}}{\rho}+O\left(\frac{x\ln^{2}x}{T}\right), $$
где $x=n+0,5$, $n \in\mathbb{N}$, $2\leq T \leq x$, и $\rho=\beta+i\gamma$ — нетривиальные нули дзета-функции Римана, то есть нули $\zeta(s)$, лежащие в критической полосе $0< \Re s<1$.
Аналогичные представления, связанные с нетривиальными нулями дзета-функции Римана, можно получить и для арифметических функций, родственных функции Чебышева, например, для функции $\psi_{1}(x)=\sum_{n\leq x}(x-n)\Lambda(n).$ Именно, в настоящей статье получено представление функции $\psi_1(x)$ по нулям дзета-функции Римана следующего вида:
$$ \psi_1(x)=\frac{x^2}{2}-\left(\frac{\zeta^{'}(0)}{\zeta(0)}\right)x-\sum_{|\Im \rho|\leq T}\frac{x^{\rho+1}}{\rho(\rho+1)}+O\left(\frac{x^{2}}{T^2}\ln^2 x\right)+O\left(\sqrt{x}\ln^2x\right),$$
где $x>2$, $T \geq 2$, и $\rho=\beta+i\gamma$ — нетривиальные нули дзета-функции Римана, то есть нули $\zeta(s)$, лежащие в критической полосе $0< \Re s<1$.