Взаимосвязь между константами Никольского–Бернштейна для тригонометрических полиномов и целых функций экспоненциального типа

Пусть $0<p\le \infty$, $\mathcal{C}(n;p;r)=\sup_{T}\frac{\|T^{(r)}\|_{L^{\infty}[0,2\pi)}}{\|T\|_{L^{p}[0,2\pi)}}$ и $\mathcal{L}(p;r)=\sup_{F}\frac{\|F^{(r)}\|_{L^{\infty}(\mathbb{R})}}{\|F\|_{L^{p}(\mathbb{R})}}$ — точные константы Никольского–Бернштейна для $r$-х производных тригонометрических полиномов степени $n$ и целых функций экспоненциального типа $1$ соответственно. Недавно Е. Левин и Д. Любинский доказали, что для констант Никольского
$$ \mathcal{C}(n;p;0)=n^{1/p}\mathcal{L}(p;0)(1+o(1)),\quad n\to \infty. $$
М. Ганзбург и С. Тихонов обобщили этот результат на случай констант Никольского–Бернштейна:
$$ \mathcal{C}(n;p;r)=n^{r+1/p}\mathcal{L}(p;r)(1+o(1)),\quad n\to \infty. $$
Также они показали существование в этой задаче экстремальных полинома $\tilde{T}_{n,r}$ и функции $\tilde{F}_{r}$ соответственно. Ранее мы дали более точные границы в результате типа Левина–Любинского, доказав, что для всех $p$ и $n$
$$ n^{1/p}\mathcal{L}(p;0)\le \mathcal{C}(n;p;0)\le (n+\lceil 1/p\rceil)^{1/p}\mathcal{L}(p;0). $$
Здесь мы устанавливаем близкие факты для случая констант Никольского–Бернштейна, из которых также вытекает асимптотическое равенство Ганзбурга–Тихонова. Результаты формулируется в терминах экстремальных функций $\tilde{T}_{n,r}$, $\tilde{F}_{r}$ и коэффициентов Тейлора ядра типа Джексона–Фейера $(\frac{\sin \pi x}{\pi x})^{2s}$. Мы неявно используем полиномы типа Левитана, возникающие при применении равенства Пуассона. Мы формулируем одну гипотезу о знаках коэффициентов Тейлора экстремальных функций.