Расширения Инабы полных полей характеристики $0$

В статье изучаются $p$-расширения полных дискретно нормированных полей смешанной характеристики, где $p$ — характеристика поля вычетов рассматриваемого поля. Известно, что любое вполне разветвленное расширение Галуа степени $p$ с немаксимальным скачком ветвления может быть задано уравнением Артина-Шрайера; при этом ограничение сверху на скачок ветвления соответствует ограничению снизу на нормирование правой части уравнения. Задача построения расширений с заданной группой Галуа произвольного конечного порядка не решена.
В работах Инабы рассматривались $p$-расширения полей характеристики $p$, заданные матричным уравнением $X^{(p)}=AX$, которое мы здесь называем уравнением Инабы. В этом уравнении $X^{(p)}$ обозначает матрицу, полученную возведением каждого элемента квадратной матрицы $X$ в степень $p$, а — некоторая унипотентная матрица $A$ над данным полем. Такое уравнение задает последовательность расширений полей, каждое из которых задано уравнением Артина-Шрайера. Было доказано, что любое уравнение Инабы задает расширение Галуа, и обратно, любое конечное $p$-расширение Галуа задается уравнением такого вида.
В настоящей работе для полей смешанной характеристики доказано, что расширение, задаваемое уравнением Инабы, является расширением Галуа, если нормирования элементов матрицы удовлетворяют некоторым оценкам снизу, т.е. если скачки промежуточных расширений степени $p$ достаточно малы.
Данная конструкция может применяться при решении задачи погружения расширений полей. Уравнение Инабы задает последовательность расширений полей, полученную последовательным присоединением элементов диагоналей матрицы. Это означает, что, если расширение $L/K$ задано уравнением Инабы, и матрица $A$ выбрана так, что на диагоналях с большими номерами записаны нули, то можно получать расширения, содержащие $L/K$, заменяя нули другими элементами. В работе доказано, что любое нециклическое расширение степени $p^2$ с достаточно маленькими скачками можно погрузить в расширение с группой Галуа, изоморфнной группе унипотентных матриц $3\times 3$ над полем из $p$ элементов.
В конце статьи сформулирован ряд открытых вопросов, при исследовании которых, возможно, окажется полезной данная конструкция.