Факторно делимые группы и группы без кручения, соответствующие конечным абелевым группам

Категория последовательностей $\mathcal{S}$ была введена в [1, 2, 3]. Объектами категории $\mathcal{S}$ являются конечные последовательности вида $a_{1},\ldots,a_{n}$, где элементы $a_{1},\ldots,a_{n}$ принадлежат конечно представимому модулю над кольцом полиадических чисел $\widehat{{Z}}$. Кольцо полиадических чисел $\widehat{{Z}}=\prod\limits_{p}{\widehat{Z}}_{p}$ – это произведение колец целых $p$-адических чисел по всем простым числам $p$. Морфизмами категории $\mathcal{S}$ из объекта $a_{1},\ldots,a_{n}$ в объект $b_{1},\ldots,b_{k}$ являются все возможные пары $(\varphi, T),$ где $\varphi: \langle a_{1},\ldots,a_{n}\rangle_{\widehat{{Z}}} \rightarrow \langle b_{1},\ldots,b_{k}\rangle_{\widehat{{Z}}}$ – гомоморфизм $\widehat{{Z}}$-модулей, порожденных данными элементами, и $T$ – целочисленная матрица размера $k\times n$, которые удовлетворяют следующему матричному равенству
$$(\varphi a_{1},\ldots,\varphi a_{n})=(b_{1},\ldots,b_{k})T.$$

В [2] доказано, что категория $\mathcal{S}$ эквивалентна категории $\mathcal{D}$ смешанных факторно делимых абелевых групп с отмеченными базисами. В [3] доказано, что категория $\mathcal{S}$ двойственна категории $\mathcal{F}$ абелевых групп без кручения конечного ранга с отмеченными базисами, под базисом мы понимаем здесь любую максимальную линейно независимую систему элементов. Композиция этой эквивалентности и двойственности является двойственностью, введенной в [1] и в [4], которую можно также рассматривать как версию двойственности, введенной в [5].
Если объект категории $\mathcal{S}$ состоит из одного элемента, то ему соответствуют группы ранга 1 в категориях $\mathcal{\mathcal{D}}$ и $\mathcal{F}$. Этот случай разобран в [6]. При этом двойственность $\mathcal{S}\leftrightarrow\mathcal{F}$ дает нам классическое описание Р. Бэра [7] групп без кручения ранга $1$. Эквивалентность $\mathcal{S}\leftrightarrow\mathcal{D}$ согласуется с описанием О. И. Давыдовой [8] факторно делимых групп ранга $1$.
В настоящей статье мы рассматриваем другой вырожденный случай. Любая периодическая абелева группа может рассматриваться как модуль над кольцом полиадических чисел. При этом периодическая группа является конечно представимым $\widehat{{Z}}$-модулем тогда и только тогда, когда она конечна. Следовательно, для любой системы образующих $g_{1},\ldots,{g_{n}}$ любой конечной абелевой группы $G$ последовательность $g_{1},\ldots,{g_{n}}$ является объектом категории $\mathcal{S}$. Более того, такие объекты определяют полную подкатегорию категории $\mathcal{S}$.
В данной статье показано, что объекту $g_{1},\ldots,{g_{n}}$ категории $\mathcal{S}$ соответствует в категории $\mathcal{D}$ факторно делимая группа вида $G\oplus Q^{n}$ с отмеченным базисом $g_{1}+e_{1},\ldots,g_{n}+e_{n}$, где $e_{1},\ldots,{e_{n}}$ – стандартный базис векторного пространства $Q^{n}$ над полем рациональных чисел $Q$. В категории $\mathcal{F}$ данному объекту соответствует свободная группа $A$, удовлетворяющая условиям $Z^{n}\subset A\subset Q^{n}$ и $A/Z^{n}\cong G^{\ast}$, где $G^{\ast}=Hom(G,Q/Z)$ – дуальная группа. Мы также рассматриваем гомоморфизмы групп, соответствующие морфизмам категории $\mathcal{S}$.