Тригонометрические суммы в метрической теории диофантовых приближений

Это обзор результатов по метрической теории диофантовых приближений на многообразиях в $n$-мерном евклидовом пространстве, в доказательстве которых используюся тригонометрические суммы.
Мы приводим как классические теоремы, так и современные результаты для многообразий $\Gamma$, $\dim\Gamma=m$, $n/2<m<n$. Мы также показываем, как происходит переход от задачи о диофантовых приближениях к оценке тригонометрической суммы или тригонометрического интеграла, и приводим необходимые соображения теории меры.
Если $m\le n/2$, то обычно используют другие методы. Например, метод существенных и несущественных областей или методы эргодической теории.
Здесь даны две фундаментальные теоремы рассматриваемой теории. Одну из них в 1977 г. доказал В. Г. Спринджук. Другую теорему в 1998 г. получили Д. И. Клейнбок и Г. А. Маргулис. Первая теорема была доказана методом тригонометрических сумм. Вторая теорема — методами эргодической теории. Для ее доказательства авторами была найдена связь между диофантовыми приближения и однородными динамическими системами.
В заключении кратко упоминаем о тенденциях развития метрической теории диофантовых приближений зависимых величин, даем ссылки на ее современные аспекты.