Об одном обобщенном эйлеровом произведении, задающем мероморфную функцию на всей комплексной плоскости

В работе изучается произведение Эйлера вида
$$ P_\pi(M,a(p)|\alpha)=\prod_{p\in P(M)}\left(1-\frac{a(p)}{p^{\alpha+\pi(p)}}\right)^{-1}, $$
где $M$ — произвольный моноид натуральных чисел, образованный множеством простых чисел $P(M)$.
Другим объектом изучения является ряд Дирихле вида
$$ f_\pi(M|\alpha)=\sum_{n\in M}\frac{1}{n^{\alpha +\pi(n)}}. $$

Оказывается, что они обладают совершенно разными свойствами. Ряд Дирихле$f_\pi(M|\alpha)$ определяет голоморфную функцию на всей комплексной плоскости.
А эйлерово произведение $P_\pi(M|\alpha)$ для моноида $M$, у которого множество простых $P(M)$ бесконечно, задает на всей комплексной плоскости мероморфную функцию, у которой имеется счетное множество особых вертикальных прямых, на каждой из которых счетное множество полюсов.
В заключении рассмотрена актуальная задача о нулях функции $f_\pi(M|\alpha)$.