Конусы и многогранники обобщенных метрик

В данной работе рассмотрены проблемы, связанные с построением и исследованием конусов и многогранников обобщенных метрических структур: конечных квазиполуметрик, которые являются несимметричными аналогами классических — симметричных — полуметрик, и конечных $m$-полуметрик, которые являются многомерными аналогами классических — двумерных — полуметрик.
Во введении рассмотрена история вопроса, приведены примеры использования метрик, квазиметрик и $m$-метрик в математике и ее приложениях, дан обзор основных идей и результатов, представленных в статье.
В первом разделе даны определения рассматриваемых в работе обобщенных метрических структур: конечных метрики и полуметрики, их ориентированных аналогов — конечных квазиметрики и квазиполуметрики, и их многомерных аналогов - конечных $m$-метрики и $m$-полуметрики.
Во втором разделе приведены классические примеры соответствующих обобщенных метрических структур. Именно, понятие метрики продемонстрировано на четырех базовых примерах (дискретная метрика — метрика Хаусдорфа — метрика симметрической разности — метрика пути связного графа). Для ориентированного случая представлены четыре соответствующих квазиметрики, в то время как для многомерного случая построены четыре соответствующих $m$-метрики.
В третьем разделе рассмотрен интересный пример одного специального случая квазиметрики: среднее время первого прохода для цепей Маркова. В ходе анализа свойств указанной структуры продемонстрирована ее связь со взвешиваемыми квазиметриками и частичными метриками, а также с другими, достаточно экзотичными, метрическими объектами.
В четвертом разделе введены понятия важнейших частных случаев полуметрики: разреза и мультиразреза. Построены их ориентированные и многомерные аналоги: ориентированные разрезы и ориентированные мультиразрезы, а также $m$-полуметрики разбиений.
В пятом разделе осуществлено построение конусов и многогранников рассмотренных обобщенных метрических структур. Рассмотрены метрический и разрезный конусы и многогранники на конечном числе точек. Построены ориентированные и многомерные аналоги указанных конусов и многогранников. Выделены свойства, связывающие указанные классы обобщенных дискретных метрических структур. Особое внимание уделено симметриям построенных конусов. Представлены результаты вычислений, посвященных конусам полуметрик, разрезов, квазиполуметрик, ориентированных разрезов, ориентировнных мультиразрезов, $m$-полуметрик и $m$-полуметрик разбиений на малом числе вершин (на $3, 4, 5$ и $6$ точках). Указаны размерность объекта, число экстремальных лучей (вершин) и их орбит, число гиперграней и их орбит, диаметры скелетона и реберного графа.
В заключении представлены выводы исследования.