О методике оценки критических определителей в рамках вопроса оценки константы совместных диофантовых приближений

Данная работа посвящена вопросам оценки константы совместных диофантовых приближений для $ n $ действительных чисел. В работе развивается подход, заложенный Г. Дэвенпортом и Дж. В. С. Касселсом. Г. Дэвенпорт обнаружил связь между значением критического определителя звездного тела и оценкой некоторых форм. В частном случае это позволяет, вычислив критический определитель $(n+1)$-мерного звездного тела Дэвенпорта
$$ \mathbb{F}_{n}: |x_0| \max \limits_{1 \leq i \leq n} | x_i |^n < 1, $$
получить значение константы совместных диофантовых приближений. Однако, вычисление критических определителей для тел такого вида является сложной задачей. Поэтому Дж. В. С. Касселс перешел от непосредственного вычисления критического определителя, к оценке его значения. Для этого он использовал оценку наибольшего значения $V_{n,s}$ – объема параллелепипеда с центром в начале координат, находящегося внутри $(n+1)$-мерного звездного тела
$$ \mathbb{F}_{n,s}: f_{n,s} = \frac 1 {2^s} \prod\limits_{i = 1}^{s} | x_i^2 + x_{s+i}^2 | \prod\limits_{i = 2s+1}^{n} | x_i | < 1. $$

Эти результаты сводят задачу оценки константы совместных диофантовых приближений к оценке объема наибольшего параллелепипеда $ V_{n,s} $. Ранее оценки для $V_{n,s}$ были получены в работах Дж. В. С. Касселса, Т. Кьюзика, С. Красса. Данная работа посвящена методике формирования гипотез о значениях $V_{n,s}$ на основе результатов численных экспериментов. В статье изложен подход к получению параллелепипедов, содержащихся внутри звездного тела и обладающих наибольшим объемом. Этот подход сочетает в себе использование как численных, так и аналитических методов.