Обобщённые суммы Гаусса и многочлены Бернулли

Для периодической арифметической функции с периодом, равным простому числу $q,$ при целых $m,n$ вводится понятие обобщённой суммы Гаусса $G_f(m)$ с символом Лежандра $\left(\frac nq\right)$:
$$ G_f(m)=\sum_{n=1}^{q-1}\left(\frac nq\right)f\left(\frac{mn}q\right). $$
Рассмотрены частные случаи $f(x)=B_\nu(\{x\}), \nu\geq 1,$ где $B_\nu(x)$ — многочлены Бернулли.
В работе используется техника конечных рядов Фурье. Если функция $f\left(\frac{k}{q}\right)$ определена в точках $k=0,1,\ldots,q-1$, то её можно разложить в конечный ряд Фурье
$$ f\left(\frac{k}{q}\right)=\sum_{m=0}^{q-1}c_me^{2\pi i\frac{mk}{q}}, \quad c_m=\frac{1}{q}\sum_{k=0}^{q-1}f\left(\frac{k}{q}\right)e^{-2\pi i\frac{mk}{q}}. $$

С помощью разложения в конечный ряд Фурье обобщённой суммы Гаусса
$$ G_\nu(m)=G_\nu(m;B_\nu)=\sum_{n=1}^{q-1}\left(\frac nq\right)B_\nu{\left(\left\{x+\frac{mn}q\right\}\right)} $$
при $\nu=1$ и $\nu=2$ найдены новые формулы, выражающие значение символа Лежандра через полные суммы от периодических функций. Это обстоятельство позволяет получить новые аналитические свойства соответствующих рядов Дирихле и арифметических функций, что будет темой следующих работ.
В работе обнаружено важное свойство сумм $G_1$ и $G_2$, а именно:
$G_1\ne 0,$ если $q\equiv 3\pmod 4$ и $G_1=0,$ если $q\equiv 1\pmod 4;$
$G_2= 0,$ если $q\equiv 3\pmod 4$ и $G_2=\frac 1{q^2}\sum\limits_{n=1}^{q-1}n^2\left(\frac nq\right),$ если $q\equiv 1\pmod 4.$