A generalized limit theorem for the periodic Hurwitz zeta-function

С времен Бора и Йессена (1910–1935) в теории дзета-фуекций прмменяются вероятностные методы. В 1930 г. они доказали первую теорему для дзета-функции Римана $\zeta(s)$, $s=\sigma+it$, которая является прототипом современных предельных теорем, характеризующих поведение дзета-функции при помощи слабой сходимости вероятностных мер. Более точно, они получили, что при $\sigma>1$ существует предел
$$ \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \mathrm{J} \left\{t\in[0,T]: \log\zeta(\sigma+it)\in R\right\}, $$
где $R$ — прямоугольник на комплексной плоскости со сторонами, паралельными осям, а $\mathrm{J}A$ обозначает меру Жордана множества $A\subset \mathbb{R}$. Два года спустя они распространили приведенный результат на полуплоскость $\sigma>\frac{1}{2}$.
Идеи Бора и Йессена были развиты в работах Винтнера, Борщсениуса, Йессена, Сельберга и других известных математиков. Современные версии теорем Бора-Йессена для широкого класса дзета-функций были получены в работах К. Матсумото.
В основном теория Бора-Йессена применялась для дзета-функций, имеющих эйлерово произведение по простым числам. В настоящей статье доказывается предельная теорема для дзета-функций, не имеющих эйлерова произведения и являющихся обобщением классичесской дзета-функции Гурвица. Пусть $\alpha$, $0<\alpha \leqslant 1$, фиксированный параметр, а $\mathfrak{a}=\{a_m: m\in \mathbb{N}_0= \mathbb{N}\cup\{0\}\}$ – периодическая последовательность комплексных чисел. Тогда периодическая дзета-функция Гурвица $\zeta(s,\alpha; \mathfrak{a})$ в полуплоскости $\sigma>1$ определяется рядом Дирихле
$$ \zeta(s,\alpha; \mathfrak{a})=\sum_{m=0}^\infty \frac{a_m}{(m+\alpha)^s} $$
и мероморфно продолжается на всю комплексную плоскость. Пусть $\mathcal{B}(\mathbb{C})$ – борелевское $\sigma$-поле комплексной плоскости, $\mathrm{meas}A$ – мера Лебега измеримого множества $A\subset \mathbb{R}$, а функция $\varphi(t)$ при $t\geqslant T_0$ имеет монотонную положительную производную $\varphi'(t)$, при $t\to\infty$ удовлетворяющую оценкам $(\varphi'(t))^{-1}=o(t)$ и $\varphi(2t) \max_{t\leqslant u\leqslant 2t} (\varphi'(u))^{-1}\ll t$. Тогда в статье получено, что при $\sigma>\frac{1}{2}$
$$ \frac{1}{T} \mathrm{meas}\left\{t\in[0,T]: \zeta(\sigma+i\varphi(t), \alpha; \mathfrak{a})\in A\right\},\quad A\in \mathcal{B}(\mathbb{C}), $$
при $T\to\infty$ слабо сходится к некоторой в явном виде заданной вероятностной мере на $(\mathbb{C}, \mathcal{B}(\mathbb{C}))$.