Критерий периодичности непрерывных дробей ключевых элементов гиперэллиптических полей

Периодичность и квазипериодичность функциональных непрерывных дробей в гиперэллиптическом поле $L = \mathbb{Q}(x)(\sqrt{f})$ имеет более сложную природу, чем периодичность числовых непрерывных дробей элементов квадратичных полей. Известно, что периодичность непрерывной дроби элемента $\sqrt{f}/h^{g+1}$, построенной по нормированию, связанному с многочленом $h$ первой степени, эквивалентна наличию нетривиальных $S$-единиц в поле $L$ рода $g$ и эквивалентна наличию нетривиального кручения в группе классов дивизоров. В данной статье найден точный промежуток значений $s \in \mathbb{Z}$ таких, что элементы $\sqrt{f}/h^s$ имеют периодическое разложение в непрерывную дробь, где $f \in \mathbb{Q}[x]$ — свободный от квадратов многочлен четной степени. Для многочленов $f$ нечетной степени проблема периодичности непрерывных дробей элементов вида $\sqrt{f}/h^s$ рассмотрена в статье [5], причем там доказано, что длина квазипериода не превосходит степени фундаментальной $S$-единицы поля $L$. Проблема периодичности непрерывных дробей элементов вида $\sqrt{f}/h^s$ для многочленов $f$ четной степени является более сложной. Это подчеркивается найденным нами примером многочлена $f$ степени $4$, для которого соответствующие непрерывные дроби имеют аномально большую длину периода. Ранее в статье [5] также были найдены примеры непрерывных дробей элементов гиперэллиптического поля $L$ с длиной квазипериода значительно превосходившей степень фундаментальной $S$-единицы поля $L$.