On a bounded remainder set for $(t,s)$ sequences I

Пусть $ (\mathbf{x}_n)_{n \geq 0} $ — $s-$мерная последовательность типа Холтона, полученная из глобального функционального поля, $b \geq 2$, $\mathbf{\gamma} =(\gamma_1,..., \gamma_s)$, $\gamma_i \in [0, 1)$ с $b$-адическим разложением $\gamma_i= \gamma_{i,1}b^{-1}+ \gamma_{i,2}b^{-2}+...$, $i=1,...,s$.
В этой статье мы докажем, что $[0,\gamma_1) \times ...\times [0,\gamma_s)$ — множество ограниченного остатка относительно последовательности $(\mathbf{x}_n)_{n \geq 0}$ тогда и только тогда, когда
\begin{equation} \nonumber \max_{1 \leq i \leq s} \max \{ j \geq 1 \; | \; \gamma_{i,j} \neq 0 \} < \infty. \end{equation}
Мы также получим аналогичные результаты для обобщенных последовательностей Нидеррайтера, последовательностей Хинга — Нидеррайтера и последовательностей Нидеррайтера — Хинга.