Алгебра рядов Дирихле моноида натуральных чисел

В работе для произвольного моноида натуральных чисел строятся основы алгебры рядов Дирихле либо над числовым полем, либо над кольцом целых чисел алгебраического числового поля.
Для любого числового поля $\mathbb{K}$ показано, что множество $\mathbb{D}^*(M)_{\mathbb{K}}$ всех обратимых рядов Дирихле из $\mathbb{D}(M)_{\mathbb{K}}$ является бесконечной абелевой группой, состоящей из рядов, у которых первый коэффициент отличен от нуля.
Вводится понятие целого ряда Дирихле моноида натуральных чисел, которые образуют алгебру над кольцом целых алгебраических чисел $\mathbb{Z}_\mathbb{K}$ алгебраического поля $\mathbb{K}$. Показано, что для группы $\mathbb{U}_\mathbb{K}$ алгебраических единиц кольца целых алгебраических чисел $\mathbb{Z}_\mathbb{K}$ алгебраического поля $\mathbb{K}$ множество $\mathbb{D}(M)_{\mathbb{U}_\mathbb{K}}$ целых рядов Дирихле, у которых $a(1)\in\mathbb{U}_\mathbb{K}$, является мультипликативной группой.
Для любого ряда Дирихле из алгебры рядов Дирихле моноида натуральных чисел определены приведенный ряд, необратимая часть и дополнительный ряд. Найдена формула разложения произвольного ряда Дирихле в произведение приведенного ряда и конструкции из необратимой части и дополнительного ряда.
Для любого моноида натуральных чисел выделена алгебра рядов Дирихле, сходящихся на всей комплексной области. Также построена алгебра рядов Дирихле с заданной полуплоскостью абсолютной сходимости. Показано, что для любого нетривиального моноида $M$ и для любого вещественного $\sigma_0$ найдется бесконечное множество рядов Дирихле из $\mathbb{D}(M)$ таких, что областью их голоморфности является $\alpha$-полуплоскость $\sigma>\sigma_0$.
С помощью теоремы универсальности С. М. Воронина удалось доказать слабую форму теоремы универсальности для широкого класса дзета-функций моноидов натуральных чисел.
В заключении рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования. В частности, если верна гипотеза Линника–Ибрагимова, то для них должна быть справедлива и сильная теорема универсальности.