Моноиды натуральных чисел в теоретико-числовом методе в приближенном анализе

В работе для каждого моноида $M$ натуральных чисел определён новый класс периодических функций $M_s^\alpha$, который является подклассом известного класса Коробова периодических функций $E_s^\alpha$. Относительно нормы $\|f(\vec{x})\|_{E_s^\alpha}$ класс $M_s^\alpha$ является несепарабельным банаховым подпространством класса $E_s^\alpha$.
Установлено, что класс $M_s^\alpha$ замкнут относительно действия интегрального оператора Фредгольма и на этом классе разрешимо интегральное уравнение Фредгольма второго рода. В работе получены оценки нормы образа интегрального оператора, которые содержат норму ядра и $s$-ю степень дзета-функции моноида $M$. Получены оценки на параметр $\lambda$, при которых интегральный оператор $A_{\lambda,f}$ является сжатием. Доказана теорема о представлении единственного решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода в виде ряда Неймана.
В работе рассмотрены вопросы решения дифференциального уравнения с частными производными с дифференциальным оператором $Q\left(\frac{\partial }{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial }{\partial x_s}\right)$ в пространстве $M^\alpha_{s}$, который зависит от арифметических свойств спектра этого оператора.
В работе обнаружен парадоксальный факт, что для моноида $M_{q,1}$ чисел сравнимых с 1 по модулю $q$ квадратурная формула с параллелепипедальной сеткой для допустимого набора коэффициентов по модулю $q$ точна на классе $M_{q,1,s}^\alpha$. Более того, это утверждение остается верным и для класса $M_{q,a,s}^\alpha$ с $1<a<q$, когда $q$ — простое число. Так как функции из класса $M_{q,a,s}^\alpha$ с $1<a<q$ не имеют нулевого коэффициента Фурье $C(\vec{0})$, то при простом $q$ сумма значений функции по узлам соответствующей параллелепипедальной сетки будет нулевой.