Extention of the Laurinčikas–Matsumoto theorem

В 1975 г. С. М. Воронин открыл замечательное свойство универсальности дзета функции Римана $\zeta(s).$ Он показал, что широкого класса аналитические функции могут быть приближены с желаемой точностью сдвигами $\zeta(s+i\tau)$, $\tau \in \mathbb{R},$ одной и той же функции $\zeta(s).$ Открытие Воронина вдохновило продолжить исследования в этом направлении. Оказалось, что универсальность является свойством многих других дзета и $L$-функций, а также некоторых классов рядов Дирихле. Среди них $L$-функции Дирихле, дзета функции Дедекинда, Гурвица и Лерха. В 2001 г. А. Лауринчикас и К. Матсумото получили универсальность дзета-функций $\zeta(s, F),$ связанных с некоторыми параболическими формами $F$. В статье получено расширение теоремы Лауринчикаса–Матсумото с использованием для приближения аналитических функций сдвигов $\zeta (s+i \varphi(\tau), F)$. Здесь $\varphi(\tau)$ – дифференцируемая функция, при $\tau \geqslant \tau_0,$ имеющая непрерывную монотонную положительную производную $\varphi'(\tau)$, удовлетворяющую при $\tau \rightarrow \infty$ оценкам ${\frac{1}{\varphi'(\tau)}=o(\tau)}$ и $\varphi(2 \tau) \max_{\tau \leqslant t \leqslant 2\tau} \frac{1}{\varphi'(t)} \ll \tau.$ Более точно, в статье доказано, что если $\kappa$ — вес параболической формы $F$, $K$ — компактное множество полосы $\left\{s \in \mathbb{C}: \frac{\kappa}{2} < \sigma < \frac{\kappa+1}{2} \right\},$ обладающее связным дополнением, и $f(s)$ – непрерывная, неимеющая нулей в $K$ и аналитическая внутри $K$ функция, то для всякого $\varepsilon > 0$ множество $\left\{\tau \in \mathbb{R}: \sup_{s \in K} | \zeta (s+i \varphi(\tau), F)-f(s) |< \varepsilon \right\}$ имеет положительную нижнюю плотность.