Joint discrete universality for $L$-functions from the Selberg class and periodic Hurwitz zeta-functions

Класс Сельберга $\mathcal{S}$ составляют ряды Дирихле
$$ \mathcal{L}(s)= \sum_{m=1}^\infty \frac{a(m)}{m^s}, \quad s=\sigma+it, $$
коффициенты которых при всяком $\varepsilon>0$ удовлетворяют оценке $a(m)\ll_\varepsilon m^\varepsilon$; существует целое $k\geqslant 0$ такое, что $(s-1)^k \mathcal{L}(s)$ является целой функцией конечного порядка; для $\mathcal{L}$ имеет место функциональное уравнение, связывающее $s$ и $1-s$, и эйлерово произведение по простым числам. Штойдинг пополнил класс $\mathcal{S}$ условием
$$ \lim_{x\to\infty} \left(\sum_{p\leqslant x} 1\right)^{-1} \sum_{p\leqslant x}|a(p)|^2=\kappa>0, $$
где $p$ означает простые числа. Полученный класс обозначается через $\widetilde{\mathcal{S}}$.
Пусть $\alpha$, $0<\alpha\leqslant 1$, – фиксированный параметер, а $\mathfrak{a}=\{a_m: m\in \mathbb{N}_0\}$ – периодическая последовательность комплексных чисел. Другой объект статьи – периодическая дзета-функция Гурвица $\zeta(s,\alpha;\mathfrak{a})$ при $\sigma>1$ определяется рядом Дирихле
$$ \zeta(s,\alpha; \mathfrak{a})=\sum_{m=0}^\infty \frac{a_m}{(m+\alpha)^s}, $$
и мероморфно продолжается на всю комлексную плоскость.
В статье расматривается дискретная универсальность набора
$$ \left(\mathcal{L}(\widetilde{s}), \zeta(s,\alpha_1; \mathfrak{a}_{11}), \dots,\zeta(s,\alpha_1; \mathfrak{a}_{1l_1}), \dots, \zeta(s,\alpha_r; \mathfrak{a}_{r1}), \dots, \zeta(s,\alpha_r; \mathfrak{a}_{rl_r})\right), $$
где $\mathcal{L}(\widetilde{s})\in \widetilde{S}$, а $\zeta(s,\alpha_j; \mathfrak{a}_{jl_j})$ – периодические дзета-функции Гурвица, т. е., одновременное приближение набора широкого класса аналитических функций
$$ \left(f(\widetilde{s}), f_{11}(s),\dots, f_{1l_1}(s), \dots, f_{r1}(s), \dots, f_{rl_r}(s)\right) $$
набором сдвигов
\begin{align*} \big(\mathcal{L}(\widetilde{s}+ikh),\, &\zeta(s+ikh_1,\alpha_1; \mathfrak{a}_{11}), \dots,\zeta(s+ikh_1,\alpha_1; \mathfrak{a}_{1l_1}), \dots, \\ & \zeta(s+ikh_r,\alpha_r; \mathfrak{a}_{r1}), \dots, \zeta(s+ikh_r,\alpha_r; \mathfrak{a}_{rl_r})\big), \end{align*}
где $h, h_1, \dots, h_r$ – положительные числа. При этом требуется линейная независимость над полем рациональных чисел для множества
$$ \left\{\left(h\log p: p\in \mathbb{P}\right), \left( h_j\log(m+\alpha_j): m\in \mathbb{N}_0,\, j=1,\dots, r\right), 2\pi\right\}, $$
где $\mathbb{P}$ – множество всех простых чисел.