Периодические непрерывные дроби и $S$-единицы с нормированиями второй степени в гиперэллиптических полях

К настоящему времени метод непрерывных дробей позволил глубоко изучить проблему существования и построения нетривиальных $S$-единиц в гиперэллиптических полях в случае, когда множество $S$ состоит из двух линейных нормирований. Данная статья посвящена более общей проблеме, а именно проблеме существования и построения фундаментальных $S$-единиц в гиперэллиптических полях для множеств $S$, содержащих нормирования второй степени. Ключевым является случай, когда множество $S=S_h$ состоит из двух сопряжённых нормирований, связанных с неприводимым многочленом $h$ второй степени. Основные результаты получены с помощью теории обобщенных функциональных непрерывных дробей в совокупности с геометрическим подходом к проблеме кручения в якобиевых многообразиях гиперэллиптических кривых.
Нами разработана теория обобщенных функциональных непрерывных дробей и связанных с ними дивизоров гиперэллиптического поля, построенных с помощью нормирований второй степени. Эта теория позволила нам найти новые эффективные методы для поиска и построения фундаментальных $S_h$-единиц в гиперэллиптических полях.
В качетсве демонстрации полученных результатов, мы подробно разбираем алгоритм поиска фундаментальных $S_h$-единиц для гиперэллиптических полей рода $3$ над полем рациональных чисел и приводим явные вычислительные примеры гиперэллиптических полей $L = \mathbb{Q}(x)(\sqrt{f})$ для многочленов $f$ степени $7$, обладающих фундаментальными $S_h$-единицами больших степеней.