Обобщение задачи А. И. Мальцева о коммутативных подалгебрах на алгебры Шевалле

В 1945 году А.И. Мальцев исследовал задачу описания абелевых подгрупп наивысшей размерности в комплексных простых группах Ли. Задача инспирирована доказанной ранее И. Шуром теоремой: Наивысшая размерность абелевых подгрупп группы $SL(n,\mathbb{C})$ равна $[n^2/4]$ и абелевы подгруппы этой размерности при $n>3$ переводятся автоморфизмами друг в друга. Свою задачу А.И. Мальцев решил переходом к комплексным алгебрам Ли. В теории Картана – Киллинга полупростые комплексные алгебры Ли классифицированы с использованием классификации систем корней евклидовых пространств $V$. С любой неразложимой системой корней $\Phi$ и полем $K$ ассоциируют алгебру Шевалле $\mathcal{L}_\Phi(K)$; ее базу дают база определенной абелевой самонормализуемой подалгебры $H$ и элементы $e_r$ $(r\in \Phi)$ с $H$-инвариантным подпространством $Ke_r$. Элементы $e_r$ $(r\in\Phi^+)$ образуют базу нильтреугольной подалгебры $N\Phi(K)$. Методы А. И. Мальцева позднее получили развитие в решении проблемы о больших абелевых подгруппах конечных групп Шевалле. В настоящей статье мы используем разработанные методы для перенесения теоремы А.И. Мальцева на алгебры Шевалле. Мы исследуем следующие задачи:
(A) Описать коммутативные подалгебры наивысшей размерности в алгебре Шевалле $\mathcal{L}_\Phi(K)$ над произвольным полем $K$.
(B) Описать коммутативные подалгебры наивысшей размерности в подалгебре $N\Phi(K)$ алгебры Шевалле $\mathcal{L}_\Phi(K)$ над произвольным полем $K$.
В статье приводится описание коммутативных подалгебр наивысшей размерности алгебры $N\Phi(K)$ классического типа над произвольным полем $K$ с точностью до автоморфизмов алгебры $\mathcal{L}_\Phi(K)$ и подалгебры $N\Phi(K)$.