Оценка взвешенных сумм Клоостермана с помощью аддитивного сдвига

Аддитивный сдвиг — один из часто используемых приёмов оценки тригонометрических сумм и сумм значений характеров. Он состоит в замене переменной суммирования $n$ выражением вида $n+x$ с последующим суммированием по искусственно введённой переменной $x$. Превращение исходной однократной суммы в кратную открывает дополнительные возможности, позволяющие получить её нетривиальную оценку. Этот приём широко использовался в работах Й. Г. ван дер Корпута, И. М. Виноградова, Д. А. Бёрджесса, А. А. Карацубы и многих других исследователей. Он оказался весьма полезным рабочим инструментом и при работе с суммами значений характеров в конечных полях, а также с кратными тригонометрическими суммами. Э. Фуври и П. Мишель (1998), Ж. Бургейн (2005) стали успешно применять этот приём к оценкам сумм Клоостермана по простому модулю.
Э. Фуври и П. Мишель сочетали аддитивный сдвиг с глубокими результатами, которые получаются средствами алгебраической геометрии. Метод Ж. Бургейна полностью элементарен. Так, его использование позволило автору дать полностью элементарный вывод оценки суммы Клоостермана с простыми числами по простому модулю $q$ в случае, когда длина $N$ такой суммы превосходит $q^{\,1/2+\varepsilon}$.
В настоящей статье даются новые примеры применения аддитивного сдвига к взвешенным суммам Клоостермана вида
$$ \sum\limits_{n\le N}f(n)\exp{\biggl(\frac{2\pi ia}{q}\,(n+b)^{*}\biggr)},\quad (ab,q)=1,\quad mm^{*}\equiv 1\;(\mathrm{mod}\ q), $$
где $q$ — простое число, а весовая функция $f(n)$ берётся равной числу $\tau(n)$ делителей $n$ или же количеству $r(n)$ представлений $n$ суммою двух квадратов целых чисел. Полученные оценки нетривиальны уже при $N\ge q^{\,2/3+\varepsilon}$.
Следствием таких оценок являются новые результаты о распределении дробных долей вида
$$ \biggl\{\frac{a}{q}\,(uv+b)^{*}\biggr\},\quad \biggl\{\frac{a}{q}\,(u^{2}+v^{2}+b)^{*}\biggr\}, $$
в случае, когда целочисленные переменные $u$, $v$ меняются в гиперболической ($uv\le N$) и круговой ($u^{2}+v^{2}\le N$) областях, соответственно.