Mertens sums requiring fewer values of the Möbius function

Обсудим некоторые тождества с участием $\mu(n)$ и $M(x) = \sum _{n \leq x}\mu (n)$, функции Мёбиуса и Мертенса. Они позволяют вычислить $M(N^d)$ для $d=1,2,3,\ldots\, $ как сумму $O_d \left( N^d(\log N)^{2d - 2}\right)$ членов, каждое произведение вида $\mu(n_1) \cdots \mu(n_r)$ с $r\leq d$ и $n_1, \ldots , n_r\leq N$. Докажем более общее тождество, в котором $M(N^d)$ заменяется на $M(g,K)=\sum_{n\leq K}\mu(n)g(n)$, где $g(n)$ – произвольная полностью мультипликативная функция, тогда как каждое $n_j$ имеет собственный диапазон суммирования $1,\ldots , N_j$. Это не ново, за исключением того, что в $N_1,\ldots , N_d$ произвольны, но наше доказательство (вдохновленное тождественным равенством Э. Майсселя, 1854) является новым. Мы главным образом заинтересованы в случае $d=2$, $K=N^2$, $N_1=N_2=N$, где тождество имеет вид $M(g, N^2) = 2 M(g,N) - \mathbf{m}^{\mathrm{T}} A \mathbf{m}$, при этом $A$ является матрицей $N\times N$ элементов $a_{mn}=\sum _{k \leq N^2 /(mn)}\,g(k)$, в то время как $\mathbf{m}=(\mu (1)g(1),\ldots ,\mu (N)g(N))^{\mathrm{T}}$. Наши результаты в разделах 2 и 3 данной статьи предполагают, что $g(n)$ равно $1$ для всех $n$. Теорема Фробениуса—Перрона применяется в этом случае: мы находим, что $A$ имеет одно большое положительное собственное значение, приблизительно $(\pi^2 /6)N^2$, с собственным вектором приблизительно $\mathbf{f} = (1,1/2,1/3,\ldots ,1/N)^{\mathrm{T}}$ T и что при больших значениях $N$ второе наибольшее собственное значение лежит в $(-0.58 N, -0.49 N)$. Раздел 2 включает оценки для следов $A$ и $A^2$ (хотя для $\mathrm{Tr}(A^2)$, мы пропустим часть доказательства). В разделе 3 обсуждаются способы аппроксимации $\mathbf{m}^{\mathrm{T}} A \mathbf{m}$, используя спектральное разложение $A$ или (альтернативно) формулу Перрона: последний подход приводит к контурному интегралу, включающему дзета-функцию Римана. Мы также рассматриваем использование тождества $A = N^{2\,} \mathbf{f}^{\,} \!\mathbf{f}^T - \frac{1}{2} \mathbf{u} \mathbf{u}^T + Z$, а $Z$ — матрица $N\times N$ элементов $z_{mn} = - \psi(N^2 / (mn))$, причем $\psi(x)=x - \lfloor x\rfloor - \frac{1}{2}$. Наши выводы представлены в разделе 4.