Оценка тригонометрических сумм с простыми числами

В работе изучено поведение тригонометрической суммы с простыми числами
\begin{gather*} S_m(\alpha ;x,k) = \sum_{n\le x} \Lambda(n) e(\alpha(n+k)^m),\quad \alpha=\frac{a}{q}+\lambda,\quad (a,q)=1, \\ |\lambda|\le \frac{1}{q\tau},\quad 1\le q\le \tau, \end{gather*}
когда $\alpha$ приближается рациональным числом с малым знаменателем и устанавливается связь с плотностными теоремами для нулей $L$-рядов Дирихле в коротких прямоугольниках критической полосы.