Подстановки и множества ограниченного остатка

Работа посвящена многомерной проблеме распределения дробных долей линейной функции. Подмножество многомерного тора называется множеством ограниченного остатка, если остаточный член многомерной проблемы распределения дробных долей линейной функции на этом множестве ограничен абсолютной константой. Интерес представляют не только отдельные множества ограниченного остатка, но и разбиения тора на такие множества.
В работе введен новый класс разбиений $d$-мерного тора на множества $(d+1)$ типа – обобщенные перекладывающиеся разбиения, описанный в комбинаторно-геометрических терминах. Показано, что все разбиения из этого класса состоят из множеств ограниченного остатка. Соответствующая оценка остаточного члена является эффективной. Также найдены условия, при которых оценка остаточного члена для последовательности обобщенных перекладывающихся разбиений тора не зависит от конкретного разбиения в последовательности.
На основе теории геометрических подстановок Арно-Ито введен новый класс обобщенных перекладывающихся разбиений многомерных торов на множества ограниченного остатка с эффективной оценкой остаточного члена. Ранее аналогичные результаты были получены в двумерном случае для одной конкретной подстановки — геометрического варианта хорошо известной подстановки Рози. При помощи предельного перехода построен еще один класс обобщенных перекладывающихся разбиений тора на множества ограниченного остатка с фрактальными границами (так называемые обобщенные фракталы Рози).