Об истории оценок константы наилучших совместных диофантовых приближений

В данной работе проводится исторический обзор результатов по проблеме оценки константы наилучших совместных диофантовых приближений для $ n $ действительных чисел. Эта проблема является частным случаем более общей проблемы приближения $ n $ действительных линейных форм и имеет свою богатую историю, восходящую к П. Г. Дирихле. Мы в большей степени остановимся на подходе Г. Дэвенпорта, основанном на связи диофантовых приближений с геометрией чисел.
В первой части дается обзор результатов, полученных для $ n = 1 $ и $ n = 2 $ действительных чисел. Исторически, в основе оценок для $ n = 1 $ лежит теория цепных дробей, и наиболее значимой является оценка А. Гурвица, полученная им в 1891 году. Для $ n = 2 $ в основе известных оценок лежит математический аппарат линейной алгебры (Ф. Фуртвенглер), геометрия чесел (Г. Дэвенпорт, Дж. В. С. Касселс) и результаты многомерных обобщений цепных дробей (В. Адамс, Т. Кьюзик).
Вторая часть посвящена одной из первых общих оценок снизу, полученной в 1929 году Ф. Фуртвенглером. Он построил оценки дискриминантов алгебраических полей, которые приводят к оценке качества приближения $ n $ действительных чисел рациональными, что в свою очередь приводит в оценке константы наилучших совместных диофантовых приближений.
В третьей часть изложена наиболее фундаментальная из известных на данный момент оценок, полученная Г. Дэвенпортом, а затем доработанная Дж. В. С. Касселсом. Г. Дэвенпорт обнаружил связь между значением критического определителя решеток и оценкой некоторых форм. В частном случае, это позволяет вычислив критический определитель специальной решетки, получить значение константы наилучших совместных диофантовых приближений. Однако, вычисление критических определителей для решеток такого вида является сложной задачей. Поэтому Дж. В. С. Касселс перешел от непосредственного вычисления критического определителя, к оценке его значения. Этот подход оказался достаточно плодотворным, позволив получить оценки константы наилучших совместных диофантовых приближений для $ n = 2, 3, 4 $.
В четвертой части дается обзор известных оценок снизу для $ n > 2 $. Эти результаты основаны на использовании вышеупомянутого подхода Дж. В. С. Касселса. Стоит отметить, что оценки такого рода являются достаточно сложной вычислительной задачей, и в каждом отдельном случае решение такой задачи требовало использования новых подходов.
В последней части мы приведем обзор некотрых известных оценок константы наилучших диофантовых приближений сверху. Хотя данная проблема не является основной темой данной статьи, значительный интерес представляет сравнение подходов при оценки константы наилучших совместных диофантовых приближений сверху и снизу. Первая оценка сверху была получена Г. Минковским в 1896 году с ипользованием геометрии чисел. Г. Ф. Блихфельдт введя понятие фундаметального параллелепипеда в 1914 году улучшил результат Г. Минковского. Позднее подход Г. Ф. Блихфельдта получил развитие в работах П. Мюллендера, В. Спона, В. Г. Новака.