Вполне разложимые однородные факторно делимые абелевы группы

Изучение абелевых групп без кручения конечного ранга было начато в работах Л.С. Понтрягина [1], А.Г. Куроша [2], А.И. Мальцева [3], Д. Дерри [4], Р. Бэра [5], Р. Бьюмонта и Р. Пирса [6,7]. В частности, Бьюмонт и Пирс в [6] ввели понятие факторно делимой группы без кручения. Понятие факторно делимой группы было расширено на случай смешанных групп в работе [8]. В этой же работе [8] было доказано, что категория смешанных факторно делимых групп с квазигомоморфизмами является двойственной категории групп без кручения конечного ранга также с квазигомоморфизмами. Новая версия категории [8] была получена в [9, 10]. Категории групп с квазигомоморфизмами были заменены на категории групп с отмеченными базисами и с обычными гомоморфизмами такими, что их матрицы относительно отмеченных базисов состоят из целых чисел. Двойственность [8] была также расширена в статье С. Бреаза и Ф. Шультца [11] на класс самомалых групп. Смешанные факторно делимые группы, также как и самомалые группы, находятся в настоящее время в фокусе внимания [12-35].
В данной статье мы доказываем две теоремы об однородных вполне разложимых факторно делимых смешанных группах. В первой теореме мы показываем, что для любого базиса такой группы существует разложение этой группы в прямую сумму групп ранга 1 такое, что элементы данного базиса сами являются базисами в соответствующих группах ранга 1. Более того, для любых двух базисов такие разложения изоморфны. Во второй теореме мы показываем, что любая точная последовательность смешанных факторно делимых групп $0\rightarrow B\rightarrow A\rightarrow C\rightarrow 0$ расщепляется, если группа $A$ является однородной вполне разложимой. Эта теорема является дуализацией следующего классического результата Бэра. Любая сервантная подгруппа однородной вполне разложимой группы без кручения конечного ранга выделяется прямым слагаемым в этой группе.