Вопросы суммирования арифметических функций, родственных функции Чебышева

Многие вопросы теории чисел связаны с исследованием рядов Дирихле $f(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_nn^{-s}$ и сумматорных функций $\Phi(x)=\sum\limits_{n\leq x} a_n$ их коэффициентов. Наиболее известным примером ряда Дирихле является дзета-функция Римана $\zeta(s)$, определенная для любого комплексного числа $s=\sigma+it$ с действительной частью $\Re s=\sigma> 1$ как $\zeta(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}.$
Квадрат дзета-функции $ \zeta^{2}(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\tau(n)}{n^s}, \,\, \Re s >1,$ связян с функцией делителей $\tau(n)=\sum\limits_{d|n}1$, дающей число натуральных делителей натурального числа $n$. Сумматорной функцией ряда Дирихле $\zeta^2(s)$ является функция $D(x)=\sum\limits_{n\leq x}\tau(n)$, вопросы асимптотической оценки которой известны как проблема делителей Дирихле. В общем случае, $ \zeta^{k}(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\tau_k(n)}{n^s}, \,\, \Re s>1, $ где функция $\tau_k(n)=\sum\limits_{n=n_1\cdot ...\cdot n_k}1$ дает число представлений натурального числа $n$ в виде произведения $k$ натуральных сомножителей. Cумматорной функцией ряда Дирихле $ \zeta^k(s)$ является функция $D_k(x)=\sum\limits_{n\leq x}\tau_k(n)$. Ее изучение - это многомерная проблема делителей Дирихле.
Логарифмическая производная $\frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}$ дзета-функции представима в виде $\frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}=$ $=-\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^s},$ $\Re s >1.$ Здесь $\Lambda(n)$ - функция Мангольдта, которая определяется как $\Lambda(n)=\log p$, если $n=p^{k}$ для простого $p$ и натурального $k$, и как $\Lambda(n)=0$, иначе. Таким образом, функция Чебышева $\psi(x)=\sum\limits_{n\leq x}\Lambda(n)$ является сумматорной функцией коэффициентов ряда Дирихле $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^s}$, соответствующего логарифмической производной $\frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}$ дзета-функции Римана. Она хорошо известна в аналитической теории чисел и связана со многими классическими задачами, прежде всего, с асимптотическим законом распределения простых чисел.
В частности, хорошо известно представление функции $\psi(x)$ по нулям дзета-функции: $\psi(x)=x-\sum\limits_{|\Im \rho|\leq T}\frac{x^{\rho}}{\rho}+O\left(\frac{x\ln^{2}x}{T}\right), $ где $x=n+0,5$, $n \in\mathbb{N}$, $2\leq T \leq x$, и $\rho=\beta+i\gamma$ - нетривиальные нули дзета-функции Римана, то есть нули $\zeta(s)$, лежащие в критической полосе $0< \Re s<1$.
Мы получаем аналогичные представления, связанные с нетривиальными нулями дзета-функции Римана, для двух арифметических функций, родственных функции Чебышева:
$$\psi_{1}(x)=\sum\limits_{n\leq x}(x-n)\Lambda(n) \, \text{ и } \, \psi_{2}(x)=\sum\limits_{n \leq x}\Lambda(n)\ln\frac{x}{n}.$$
Аналогичные результаты можно получить и для других функций, родственных функции Чебышева, если использовать логарифмические производные $L$-функций Дирихле.