О приближении действительных чисел суммами квадратов простых чисел

В статье доказано, что к заданному действительному числу $N>N_0(\varepsilon)$ можно подойти суммой квадратов трех простых чисел на расстояние не большее, чем $H=N^{217/768+\varepsilon}$ и можно подойти суммой четырех квадратов простых чисел на расстояние не большее, чем $H=N^{1519/9216+\varepsilon}$, где $\varepsilon$ – произвольное положительное число.
Данные результаты получены при помощи плотностной техники, разработанной Ю.В. Линником в 1940-х годах. Плотностная техника основана на применении явных формул, выражающих суммы по простым числам, через суммы по нетривиальным нулям дзета-функции Римана и использовании плотностных теорем – оценок количества нетривиальных нулей дзета-функции, лежащих в критической полосе и таких, что их реальная часть больше некоторого $\sigma$, где $1>\sigma\geq 1/2$.
Содержащиеся в статье результаты основаны на применении современных плотностных теорем, полученных А. Ивичем. Кроме того, при доказательстве была использована теорема Бейкера, Хармана, Пинтца: к заданному действительному числу $N>N_0(\varepsilon)$ можно подойти простым числом на расстояние не большее, чем $H=N^{21/40+\varepsilon}$. Также использован результат полученный ранее автором: к заданному действительному числу $N>N_0(\varepsilon)$ можно подойти суммой квадратов двух простых чисел на расстояние не большее, чем $H=N^{31/64+\varepsilon}$.