Количественные обобщения результатов Нидеррейтера о цепных дробях

Пусть $d$ — натуральное число $\ge 2$. Гипотеза Зарембы гласит, что существует $c\in\{1,2,\ldots,d-1\}$, где $(c,d) =1 $ и разложение $\frac{c}{d}$ в цепную дробь имеет все неполные частные меньшие константы $N$. Предполагается, что $N=6$, для простых $d$ предполагается $N=4$. В 1986 году Нидеррейтер доказал справедливость гипотезы Зарембы с $N=4$ для $d$, являющихся степенями 2 и 3 (см. [2]), а также для $d$, являющихся степенями 5 с $N=5$. В настоящей работе будут получены количественные обобщения результатов Нидеррейтера, а именно, оценка снизу количества последовательностей c ограниченными элементами, континуант которых является степенью произвольного натурального числа $a\ge 2$. Также будет показана неулучшаемость некоторых оценок в рамках рассматриваемого метода.