О некоторых свойствах непрерывных периодических дробей с небольшой длиной периода, связанных с гиперэллиптическими полями и $S$-единицами

Пусть $\mathbb{Q}$ — поле рациональных чисел, $\mathbb{Q}(x)-$ поле рациональных функций от одной переменной, $f \in \mathbb{Q}[x]-$ свободный от квадратов многочлен нечетной степени равной $2g+1, g>0$. Пусть для многочлена $h$ степени $1$ дискретное нормирование $\nu_{h}$ однозначно определенное на $\mathbb{Q}(x)$ имеет два неэквивалентных продолжения на поле $L=\mathbb{Q}(x)(\sqrt{f})$ и $\nu'_{h}$ — одно из этих продолжений. Положим $S=\{\nu'_{h}, \nu_{\infty}\}$, где $\nu_{\infty}$ бесконечное нормирование поля $L$. В. П. Платоновым и М. М. Петруниным в работе [4] было показано (смотри также [2]), что $S$-единица в $L$ существует тогда и только тогда, когда бесконечная непрерывная функциональная дробь, в которую раскладывается элемент $\frac{\sqrt{f}}{h^{g+1}}$ является периодичной. В данной работе исследуются непрерывные периодические дроби, возникающие из указанного разложения. Для некоторых небольших значений длины периода и квазипериода получены оценки на степени соответствующих фундаментальных $S$-единиц, а также некоторые необходимые условия, которым должны удовлетворять элементы указанных дробей.
При доказательстве существенно используются результаты, полученные В. П. Платоновым и М. М. Петруниным в работе [4].