Оценка многочлена от глобально трансцендентного полиадического числа

Пусть
$$ \alpha=\sum\limits_{n=0}^\infty a_kn_k!, \quad a_k\in\mathbb{Z}, \quad 0\leqslant a_k\leqslant n_k, $$
где $n_k$ — быстро возрастающая последовательность натуральных чисел. Этот ряд сходится во всех полях $\mathbb{Q}_p$ $p$-адических чисел и представляет собой полиадическое число. Кольцо целых полиадических чисел является прямым произведением колец целых $p$-адических чисел по всем простым числам $p$. Это позволяет рассматривать $\alpha$, как бесконечномерный вектор $\left(\alpha^{(1)}, \ldots, \alpha^{(n)}, \ldots\right)$, где координата с номером $n$ равна сумме этого ряда в поле $\mathbb{Q}_{p_n}$, где $p_n$ — $n$-ое простое число.
Для любого многочлена $P(x)$, отличного от тождественного нуля и имеющего целые коэффициенты, имеет место равенство
$$ P(\alpha)=\left(P\left(\alpha^{(1)}\right), \ldots, P\left(\alpha^{(n)}\right), \ldots \right). $$

Полиадическое число $\alpha$ называется алгебраическим, если $P(\alpha)$ есть нулевой вектор, $P(\alpha)=(0, \ldots, 0)$.
В работах В.Г. Чирского введены понятия трансцендентного, бесконечно трансцендентного, глобально трансцендентного числа. Именно, полиадическое число $\alpha$ называется алгебраическим, если для любого многочлена $P(x)$ полиадическое число $P(\alpha)$ не равно нулю, т.е. имеет хотябы одну отличную от нуля координату $P\left(\alpha^{(n)}\right)$. Полиадическое число называется бесконечно трансцендентным, если таких координат бесконечно много и глобально трансцендентным, если все $P\left(\alpha^{(n)}\right)\neq 0$. В работе получены оценки снизу $\left|P\left(\alpha^{(n)}\right)\right|_{p_n}$ в любом поле $\mathbb{Q}_{p_n}$. Следствием является глобальная трансцендентность $\alpha$.