Геометризация систем счисления

В работе получена теорема геометризации для систем счисления, где основанных на жадных разложениях знаменатели подходящих дробей произвольного иррационального числа, большего нуля, но меньшего единицы.
Знаменатели $\left \{ Q_i (\alpha) \right \}$ подходящих дробей произвольного иррационального $\alpha \in (0; 1)$ дают способ представления любого натурального числа в виде разложения Островского–Цеккендорфа $n = \sum\limits_{i=0}^{k} z_i( \alpha, n) Q_i ( \alpha )$ с естественными условиями на $z_i( \alpha, n)$, описываемыми при помощи неполных частных $q_i(\alpha)$. В случае $\alpha =\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ получается хорошо известная ситстема счисления Фибоначчи. Если же $\alpha=\frac{\sqrt{g^2+4}-g}{2}$, где $g \ge 2$, то соответсвующее разложение порождает представление натуральных чисел в обобщенных системах счисления Фибоначчи.
Настоящая работа посвящена изучению множеств $\mathbb{Z} \left ( z_0, \ldots, z_{l} \right )$, состоящих из натуральных чисел, имеющих заданное окончание представления в виде разложения Островского–Цеккендорфа. Основным результатом работы является теорема геометризации, описывающая множества $\mathbb{Z} \left ( z_0, \ldots, z_{l} \right )$ в терминах дробных долей вида $\left \{ n \alpha \right \}$. В частности, для любого допустимого окончания $\left ( z_0, \ldots, z_{l} \right )$ существуют эффективно вычислимые $a$, $b\in\mathbb{Z}$ такие, что $n \in \mathbb{Z} \left ( z_0, \ldots, z_{l} \right )$, тогда и только тогда, когда дробная доля $\left \{ (n+1) i_0 (\alpha) \right \}$, где $i_0 (\alpha) = \max \left \{ \alpha, 1 - \alpha \right \}$, принадлежит отрезку $\left [ \{a \alpha \}; \{b \alpha \} \right ]$. Данная теорема обобщает теоремы о геометризации классической и обобщенных системы счисления Фибоначчи, доказанные авторами ранее.