Актуальные задачи, связанные с последовательностями Битти

Последовательностями Битти в англоязычной литературе называют последовательности вида $[\alpha n]$ и, более общо, $[\alpha n+\beta]$, где $\alpha$ — некоторое положительное иррациональное число и $\beta$ — некоторое вещественное число (если $\beta=0$, то последовательность называется однородной, в противном случае — неоднородной). В отечественной литературе такие последовательности обычно называются антье-последовательностями специального вида или обобщёнными арифметическими прогрессиями. Изучение свойств этих последовательностей, начатое ещё в конце XIX века, активно продолжается и в наши дни. Настоящая статья содержит обзор основных направлений исследований последовательностей Битти с указанием ключевых результатов.
Исследование распределения простых чисел в последовательностях Битти, начатое в 1970-х годах, было продолжено в 2000-х, когда благодаря привлечению новых методов, удалось получить уточнения остаточных членов в асимптотических формулах. Широкий круг задач связан с суммами значений арифметических функций на последовательностях Битти. Рядом авторов получены асимптотические формулы для суммы значений функции делителей $\tau(n)$ и многомерной функции делителей $\tau_k(n)$, функции суммы делителей $\sigma(n)$, функции Эйлера $\varphi(n)$, характеров Дирихле, числа простых делителей $\omega(n)$. Помимо того, получен ряд результатов в задачах о квадратичных вычетах и невычетах в последовательностях Битти. С 1990-х годов актуальным направлением исследований стали аддитивные задачи, связанные с последовательностями Битти. Изучаются аналоги классических проблем гольдбахова типа, в которых простые числа принадлежат последовательностям Битти, а также иные задачи о представлении натуральных чисел в виде суммы, часть слагаемых которой является членами такой последовательности.