Некоторые экстремальные задачи для преобразования Фурье по собственным функциям оператора Штурма–Лиувилля

Экстремальные задачи Турана, Фейера, Дельсарта, Бомана и Логана для положительно определенных функций в евклидовом пространстве или для функций с неотрицательным преобразованием Фурье имеют многообразные приложения в теории функций, теории приближений, теории вероятностей и метрической геометрии. Так как экстремальные функции в них являются радиальными, то с помощью усреднения по евклидовой сфере они допускают редукцию к аналогичным задачам для преобразования Ганкеля на полупрямой, для решения которых можно использовать квадратурные формулы Гаусса и Маркова на полупрямой по нулям функции Бесселя, построенные Фрапье и Оливером.
Нормированная функция Бесселя, как ядро преобразования Ганкеля, является решением задачи Штурма–Лиувилля со степенным весом. Другим важным примером служит преобразование Якоби, ядро которого является решением задачи Штурма–Лиувилля с гиперболическим весом. Авторам работы недавно удалось построить квадратурные формулы Гаусса и Маркова на полупрямой по нулям собственных функций задачи Штурма–Лиувилля при естественных условиях на весовую функцию, которые, в частности, выполняются для степенного и гиперболического весов.
При этих условиях на весовую функцию в работе решены экстремальные задачи Турана, Фейера, Дельсарта, Бомана, Логана для преобразования Фурье по собственным функциям задачи Штурма–Лиувилля. Построены экстремальные функции. Для задач Турана, Фейера, Бомана и Логана доказана их единственность.
Библиография: 44 названия.