Character sums over shifted powers

Мы изучаем суммы характеров на множестве сдвинутых степеней по модулю простого числа $p$. Такие суммы могут рассматриваться как обобщение сумм характеров от сдвинутой подгруппы. Случай, когда подгруппа имеет размер меньше $\sqrt{p}$, вопрос о нетривиальных по порядку верхних оценок таких сумм остается открытым и на сегодня является нерешенным. Он был предложен Ж. Бургейном и М. Ч. Чанг в обзоре 2010 года. Тем не менее, некоторых промежуточных результатов добился профессор К. Гонг, установивший нетривиальные оценки таких сумм в случае когда подгруппа имеет размер существенно больше $\sqrt{p}$. В данной работе получены некоторые новые результаты на верхнюю оценку абсолютного значения обобщения таких сумм, которые являются неполными суммами характеров от сдвинутых подгрупп. Дано два доказательства основного утверждения. Первое из них основано на сведении указанной суммы к известной оценке А. Вейля и приеме сглаживания сумм. Применяется также прием оценки неполной суммы через полную. Используется также один результат М. З. Гараева. Второе доказательство основано на оригинальной идее И. М. Виноградова. Этот подход был предложен для уточнения известного неравенства Пойа–Виноградова и использует в своей сути некоторые геометрические и комбинаторные идеи. Второе доказательство приведено не в полной мере. Мы лишь доказываем некоторое ключевое утверждение и за остальными выкладками отсылаем читателя к самой работе И. М. Виноградова.
Библиография: 15 названий.