О показателях иррациональности чисел вида $\sqrt{d}\ln{\frac{\sqrt{d}+1}{\sqrt{d}-1}}$

В данной работе рассмотрено обобщение некоторых методов, позволяющих получать оценки меры иррациональности чисел вида $\gamma_d=\sqrt{d}\ln{\frac{\sqrt{d}+1}{\sqrt{d}-1}}$ при $d=2k, d=4k+1, k\in\mathbb N,$ и приведён обзор известных на данный момент результатов.
Мера иррациональности различных значений гипергеометрической функции Гаусса, в частности
$$ 2F \left(1,\frac{1}{2},\frac{3}{2};\frac{1}{d}\right)=\sqrt{d}\ln {\frac {\sqrt{d}+1}{\sqrt{d}-1}}, $$
оценивалась неоднократно. Первые подобные оценки для отдельных значений были получены в работах Д. Рина [1], М. Хуттнера [2], А. К. Дубицкаса [3]. Позднее К. Ваананеном, А. Хеймоненом и Т. Матала-Ахо в [4] был предложен общий метод, позволяющий строить оценки показателя иррациональности значений гипергеометрической функции
$$ F\left(1,\frac{1}{k},1+\frac{1}{k};\frac{r}{s}\right),\ k\in\mathbb N,\ k\ge 2,\ \frac{r}{s}\in\mathbb Q,\ (r,s)=1,\ \frac{r}{s}\in (-1,1). $$
Данный метод использовал полиномы Якоби для построения рациональных приближений функции Гаусса.
В работе [4] было получено много конкретных результатов. Некоторые из них не улучшены до сих пор, но для отдельных классов значений гипергеометрической функции в дальнейшем были разработаны специализированные методы, позволившие уменьшить оценки. Так, в трудах [5], [6] авторами, работавшими под руководством В. Х. Салихова, были усилены результаты о показателях иррациональности некоторых значений вида $\gamma_d$. В основе доказательств лежало использование симметризованных интегралов.
Следует отметить, что вещественные или комплексные симметризованные интегралы в последнее время широко применяются для оценки показателей иррациональности. С помощью таких интегралов были получены новые оценки для $\ln 2$ (см. [7]), $\ln 3$, $\ln \pi $ (см. [8], [9]) и других чисел.
Проведём исследование и сравнение некоторых из таких симметризованных конструкций, позволивших ранее улучшить оценки мер иррациональности для конкретных значений $\gamma_d$.
Библиография: 17 названий.