Среднеквадратическое приближение функций рядами Фурье–Бесселя и значения поперечников некоторых функциональных классов

Известно, что многие задачи математической физики, сводящиеся к дифференциальным уравнениям с частными производными, записанные в цилиндрических и сферических координатах, применением метода разделения переменных, в частности, приводятся к дифференциальному уравнению Бесселя и к функциям Бесселя. На практике, особенно в задачах электродинамики, небесной механики и современной прикладной математики, чаще всего используются ряды Фурье по ортогональным системам специальных функций. При этом требуется выяснить условия разложения функций в ряды по указанным специальным функциям, образующим на заданном отрезке полную ортогональную систему.
Работа посвящена получению точных оценок скорости сходимости рядов Фурье по системе функций Бесселя для некоторых классов функций в гильбертовом пространстве $L_{2}:=L_{2}([0,1],x\,dx)$ суммируемых с квадратом функций $f: [0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ с весом $x.$
Доказано точное неравенство типа Джексона–Стечкина на множестве $L_{2}^{(r)}(\mathcal{D}),$ связывающее величину $E_{n-1}(f)_{2}$ наилучшего приближении функции $f$ частными суммами порядка $n-1$ ряда Фурье–Бесселя с усреднением с положительным весом обобщённого модуля непрерывности $m$-го порядка $\Omega_{m}(\mathcal{D}^{r}f; t),$ где $\mathcal{D}:=\frac{d^{2}}{dx^{2}}+\frac{1}{x}\cdot\frac{d}{dx}-\frac{\nu^{2}}{x^{2}}$ — дифференциальный оператор Бесселя второго порядка первого рода индекса $\nu$. Аналогичные неравенства получены также через $\mathcal{K}$-функционалы $r$-ых производных функций. Для классов функций, определённых при помощи указанных характеристик в $L_{2}$, вычислены точные значения различных $n$-поперечников.
Библиография: 13 названий.