Алгебраическая независимость некоторых почти полиадических рядов

Статья посвящена исследованию арифметической природы значений в целых точках рядов, принадлежащих так называемому классу $F$-рядов, составляющих решение системы линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами — рациональными функциями от $z$.
Рассматривается подкласс $F$-рядов, который состоит из рядов вида
\begin{equation} \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cdot n! z^n \, , \nonumber \end{equation}
у которых $a_n\in \mathbb{Q}$ и $\left|a_n\right| \leq e^{c_1 n}$, $n=0,1,\dots$, где $c_1$ — некоторая постоянная. Кроме того, существует последовательность натуральных чисел $d_n$ таких, что $d_n a_k\in\mathbb{Z},\;k=0,\ldots,n$. При этом $d_n=d_{0,n} d^{n},\;d_{0,n}\in\mathbb{N},\;n=0,1,\ldots,\;d \in\mathbb{N}$ и для любого $n$ число $d_{0,n}$ делится только на простые числа $p$, для которых выполнено неравенство $p\leq c_2n$. Предполагаем также,что степень, в которой число $p$ входит в разложение числа $d_{0,n}$, обозначаемая $ord_pn$, удовлетворяет при всех $n$ неравенству
$$ord_pn\leq c_3\left(\log_pn+\frac{n}{p^{2}}\right).$$
При выполнении этих условий говорим, что рассматриваемый ряд принадлежит классу $F\left(\mathbb{Q},c_1,c_2,c_3,d\right)$.
Ряды такого вида сходятся в точке $z\in\mathbb Z$, $z\ne 0$, если рассматривать их, как $p$-адические числа при любом простом $p$, кроме быть может конечного числа простых $p$.
Прямое произведение колец целых $p$-адических чисел по всем простым $p$ называется кольцом целых полиадических чисел. Его элементы
\begin{equation} \nonumber \mathfrak{a}=\sum a_n\cdot n! \end{equation}
можно рассматривать, как бесконечномерные векторы, координаты которых, соответствующие полю $\mathbb Q_p$, представляют собой сумму $\mathfrak{a}^{(p)}$ ряда $\mathfrak{a}=\sum_{n=1}^\infty a_n\cdot n!$ в поле $\mathbb Q_p$.
Для любого многочлена $P(x)$ с целыми коэффициентами определим $P(\mathfrak{a})$ как вектор, координаты которого в поле $\mathbb Q_p$ равны $P(\mathfrak{a}^{(p)})$. Следуя классификации введенной в работах В. Г. Чирского, назовем полиадические числа $\mathfrak{a}_1,\ldots,\mathfrak{a}_m$ бесконечно алгебраически независимыми, если для любого многочлена $P(x_1,\ldots,x_m)$ с целыми коэффициентами, отличного от тождественного нуля, существует бесконечное множество простых чисел $p$ таких, что $P\left(\mathfrak{a}_1{^{(p)}},\ldots, \mathfrak{a}_m{^{(p)}}\right)\ne 0$ в поле $\mathbb Q_p$.
В статье доказана теорема, утверждающая, что если $F$-ряды $f_1,\ldots,f_m$ удовлетворяют системе дифференциальных уравнений вида
\begin{equation} \nonumber P_{1,i}y_i^\prime + P_{0,i}y_i = Q_i, i=1,\ldots,m \end{equation}
где $P_{0,i}, P_{1,i}, Q_i$– рациональные функции от $z$ и если $\xi\in\mathbb Z$, $\xi\ne 0$, $\xi$ отлично от полюсов всех этих рациональных функций, то при условии
\begin{equation} \nonumber \exp\left(\int\left(\frac{P_{0,i}(z)}{P_{1,i}(z)}-\frac{P_{0,j}(z)}{P_{1,j}(z)}\right)dz\right)\not\in\mathbb C(z) \end{equation}
$f_1(\xi),\ldots,f_m(\xi)$– бесконечно алгебраически независимые почти полиадические числа.
Используется модификация метода Зигеля–Шидловского и подход В. Х. Салихова к доказательству алгебраической независимости функций, составляющих решение рассматриваемой системы дифференциальных уравнений.
Библиография: 30 названий.