Теорема о площади дисковой диаграммы над $C(3)$-$T(6)$-группой

Геометрические методы широко используются в комбинаторной теории групп. Теория групп с малыми сокращениями эффективно использует метод групповых диаграмм. Это позволяет решать, в частности, различные алгоритмические проблемы. Одной из таких проблем является проблема степенной сопряжённости. Будучи решённой в классе групп с условиями малого сокращения $C(6)$-$T(3)$, она остаётся открытой в близком классе $C(3)$-$T(6)$-групп.
В данной статье исследуется структура односвязных диаграмм над $C(3)$-$T(6)$-группами и указывается, как это исследование может быть использовано при решении проблемы степенной сопряжённости.
Основным результатом данной статьи является доказательство теоремы о нижней оценке площади дисковой диаграммы на группой с условиями $C(3)$-$T(6)$. Известно, что для групп с условиями $C(p)$-$T(q)$ при $(p,q)\in \{(3,6), (4,4), (6,3)\}$, являющихся автоматными, изопериметрическое неравенство является квадратичным. То же самое утверждается в известной в теории групп с малыми сокращениями теореме о площади. Оба утверждения ограничивают сверху площадь односвязной приведённой диаграммы в рассматриваемом классе групп квадратичной функцией длины границы.
В данной статье доказано, что нижняя граница для площади диаграммы указанного типа тоже является квадратичной функцией длины границы. Важность этого результата видна с точки зрения оценки сложности алгоритма, решающего проблему равенства слов. Он оказывается не менее, чем квадратичной сложности от длины сравниваемых слов.
Библиография: 15 названий.