О решении билинейного матричного уравнения

Матричные уравнения Ляпунова, а также их обобщения — матричные уравнения Сильвестра широко используются в теории устойчивости движения, теории управления, при решении обыкновенных дифференциальных уравнений Риккати и Бернулли, при решении уравнений в частных производных, а также в задачах восстановления изображений. Если структура общего решения однородной части уравнения Ляпунова хорошо изучены, то решение неоднородного уравнения Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова достаточно громоздко. Наиболее распространенным требованием при решении матричных уравнений Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова, является условие единственности решения.
Ранее, в статье А. А. Бойчука и С. А. Кривошеи с использованием теории обобщенных обратных операторов, установлен критерий разрешимости матричных уравнений $AX - XB = D$ и $X - AXB = D$ типа Ляпунова и исследована структура семейства их решений. В статье А. А. Бойчука и С. А. Кривошеи использовано псевдообращение линейного матричного оператора $\mathcal{L},$ соответствующего однородной части уравнений $AX - XB = D$ и $X - AXB = D$ типа Ляпунова.
Используя технику псевдообратных (по Муру–Пенроузу) матриц и проекторов, в статье предложены оригинальные условия разрешимости, а также схема нахождения семейства линейно независимых решений неоднородного билинейного матричного уравнения и, в частности, уравнения Сильвестра, в общем случае, когда линейный матричный оператор $\mathcal{L},$ соответствующий однородной части билинейного матричного уравнения не имеет обратного. Найдено выражение для семейства линейно независимых решений неоднородного билинейного матричного уравнения и, в частности, уравнения Сильвестра с использованием проекторов и псевдообратных (по Муру–Пенроузу) матриц. Этот результат является обобщением соответствующих результатов, полученных в статье А. А. Бойчука и С. А. Кривошеи, на случай билинейного матричного уравнения.
Предложенные условия разрешимости, а также схема построения частного решения неоднородного билинейного матричного уравнения подробно проиллюстрированы на примерах.
Библиография: 17 названий.