Об аменабельных подгруппах $F$-групп

В работе [1] Дж. фон Нейман в связи с изучением парадокса Банаха–Тарского ввел понятие аменабельной группы: группа $G$ называется аменабельной, если на ней существует нетривиальная конечно аддитивная левоинвариантная мера, т.е. на множестве $P(G)$ всех подмножеств множества $G$ определена функция $\mu$, принимающая неотрицательные значения, и удовлетворяющая условиям

• $\mu (G) \, > \, 0$,
• для любых двух непересекающихся подмножеств $U$ и $V$ множества $G$ выполняется равенство $ \mu (U \cup V) \, = \, \mu (U ) \, + \,\mu ( V) , $
• для любого подмножества $U$ множества $G$ и любого элемента $g$ группы $G$ выполняется равенство $ \mu (g U ) \, = \, \mu (U ). $

В этой работе Дж. фон Нейман установил, что любая локально разрешимая группа аменабельна, а любая свободная нециклическая группа неаменабельна. Так как подгруппа аменабельной группы сама аменабельна, то любая группа, в которую вложима свободная группа ранга 2, неаменабельна. К этой работе Дж. фон Неймана восходит гипотеза о справедливости обратного утверждения, т.е. об аменабельности любой группы, в которую не вложима свободная группа ранга 2.
Это приводит к понятию альтернатива фон Неймана для аменабельности для класса групп $C$:
для класса групп $C$ выполняется альтернатива фон Неймана для аменабельности, если для произвольной группы $G$ из этого класса справедливо утверждение
либо группа $G$ аменабельна, либо она содержит подгруппу, изоморфную свободной группе $F_2$ ранга 2.
Первоначальная гипотеза Дж. фон Неймана может рассматриваться как альтернатива фон Неймана для аменабельности для класса всех групп. Альтернатива фон Неймана для аменабельности справедлива для класса всех подгрупп групп с одним определяющим соотношением и для класса всех подгрупп групп с условием малого сокращения.
В настоящей заметке устанавливается справедливость альтернативы фон Неймана для аменабельности для подгрупп $F$-групп: для произвольной подгруппы $G$ любой $F$-группы справедливо утверждение:
либо группа $G$ аменабельна, либо она содержит подгруппу, изоморфную свободной группе $F_2$ ранга 2.
Библиография: 15 названий.