Геометризация обобщенных систем счисления Фибоначчи и ее приложения к теории чисел

Обобщенные числа Фибоначчи $\left \{ F^{(g)}_i \right \}$, определяемые с помощью рекуррентного соотношения
$$F^{(g)}_{i+2} = g F^{(g)}_{i+1} + F^{(g)}_i,$$
и начальных условий $F^{(g)}_0 = 1$, $F^{(g)}_1 = g$ определяют способ представления натуральных чисел в виде жадного разложения
$$n = \sum_{i=0}^{k} \varepsilon_i(n) F^{(g)}_i,$$
описываемого при помощи естественных условий на $\varepsilon_i(n)$. В частности, при $g=1$ получаем хорошо известную систему счисления Фибоначчи. Разложения, получаемые при $g>1$ будем называть представлениями натуральных чисел в обобщенных системах счисления Фибоначчи.
Настоящая работа посвящена изучению множеств $ \mathbb{F}^{(g)} \left ( \varepsilon_0,\ldots,\varepsilon_{l} \right )$, состоящих из натуральных чисел, имеющих заданное окончание представления в обобщенной системе счисления Фибоначчи. Основным результатом работы является теорема геометризации, описывающая множества $ \mathbb{F}^{(g)} \left ( \varepsilon_0,\ldots,\varepsilon_{l} \right )$ в терминах дробных долей вида $\left \{ n \tau_g \right \}$, $\tau_g=\frac{\sqrt{g^2+4}-g}{2}$. Более строго, для любого допустимого окончания $\left ( \varepsilon_0,\ldots,\varepsilon_{l} \right )$ существуют эффективно вычислимые $a,b\in\mathbb{Z}$ такие, что $n\in\mathbb{F}^{(g)} \left ( \varepsilon_0,\ldots,\varepsilon_{l} \right )$ тогда и только тогда, когда дробная доля $\left \{ (n+1) \tau_g \right \}$ принадлежит отрезку $\left [ \{-a \tau_g\}; \{-b \tau_g \} \right ]$. Ранее аналогичная теорема была доказана авторами для классической системы счисления Фибоначчи.
В качестве приложения рассматривается ряд аналогов классических теоретико-числовых задач над множествами $ \mathbb{F}^{(g)} \left ( \varepsilon_0,\ldots,\varepsilon_{l} \right )$. В частности получены асимптотические формулы для количества чисел из данных множеств, принадлежащих заданной арифметической прогрессии, для количества простых чисел из заданного множества, для количества представлений натурального числа в виде суммы заданного числа чисел из данных множеств, а также для чисел решений аналогов задач Лагранжа, Гольдбаха и Хуа-Локена над данными множествами.
Библиография: 33 названия.