О квадратах в специальных множествах конечного поля

В теории чисел имеется обширная тематика, связанная с изучением арифметических свойств чисел с “пропущенными цифрами” (т.е. тех чисел, цифры которых в фиксированной системе счисления принадлежат заданному множеству). В настоящей работе изучается аналог таких задач в конечных полях.
Рассмотрим линейное пространство, образованное элементами конечного поля $\mathbb{F}_q$, где $q=p^r$, над $\mathbb{F}_p$. Пусть $\{a_1,\ldots,a_r\}$ — базис этого пространства. Тогда каждый элемент $x\in\mathbb{F}_q$ имеет единственное представление в виде $\sum_{j=1}^r c_ja_j$, где $c_j\in\mathbb{F}_p$; коэффициенты $c_j$ можно назвать “цифрами”. Пусть $\mathcal{D}\subset\mathbb{F}_p$. Рассмотрим множество $W_{\mathcal{D}}$ тех элементов $x\in\mathbb{F}_q$, для которых $c_j\in D$ при всех $1\leq j \leq r$. При этом элементы $\mathcal{D}\setminus\mathbb{F}_p$ можно назвать “пропущенными цифрами”. В недавней работе C. Dartyge, C. Mauduit, A. Sárközy было показано, что если множество $\mathcal{D}$ достаточно велико, то во множестве $W_{\mathcal{D}}$ имеются квадраты. В данной работе исследуется более общая задача. Зафиксируем множества $D_1,\ldots,D_r\subset\mathbb{F}_p$ и пусть $W=W(D_1,\ldots,D_r)$ — множество тех элементов $x\in\mathbb{F}_q$, для которых $c_j\in D_j$ при всех $1\leq j \leq r$. Доказана оценка на количество квадратов во множестве $W$, из которой вытекают следующие два утверждения:

• если для некоторого $\varepsilon>0$ выполнено $\prod\limits_{i=1}^r|D_i| \geq (2r-1)^rp^{r(1/2+\varepsilon)}$, то справедлива асимптотическая оценка $|W\cap Q|=|W|\left(\frac12+O(p^{-\varepsilon/2})\right)$;
• при $\prod\limits_{i=1}^r |D_i|\geq 8(2r-1)^rp^{r/2}$ во множестве $W$ имеются ненулевые квадраты.

Библиография: 18 названий.