Строение конечных полуабелевых $n$-арных групп

Теория $n$-арных групп возникла как обобщение теории обычных (бинарных) групп. Многие определения из теории групп имеют $n$-арный аналог в теории $n$-арных групп. Например, $n$-арными аналогами абелевой группы являются абелева и полуабелева $n$-арные группы. $n$-арная группа $\langle G,f\rangle$ называется полуабелевой, если в ней верно тождество
$$f(x_1,x_2,\ldots,x_{n-1},x_n)=f(x_n,x_2,\ldots,x_{n-1},x_1).$$
Если же в $n$-арной группе $\langle G,f\rangle$ верны тождества
$$ f(x_1,\ldots,x_n)= f(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(n)}) $$
для любой подстановки $\sigma\in S_n$, то ее называют абелевой.
Имеется тесная связь между группами и $n$-арными группами. Отметим частный случай теоремы Глускин–Хоссу для полуабелевых $n$-арных групп. На любой полуабелевой $n$-арной группе $\langle G,f\rangle$ можно определить абелеву группу $\langle G,+\rangle$, где $a+b=f(a,c,\ldots,c,\bar c,b)$ для $c$ из $G$. Тогда для элемента $d=f(c,\ldots,c)$ и автоморфизма $\varphi(x)=f(c,x,c,\ldots,c,\bar c)$ группы $\langle G,+\rangle$, верны равенства $\varphi(d)=d$, $\varphi^{n-1}(x)=x$ для любого $x\in G$,
$$f(a_1,\ldots,a_n)=a_1+\varphi(a_2)+\ldots+\varphi^{n-2}(a_{n-1})+a_n+d.$$

Группу $\langle G,+\rangle$ называют ретрактом $n$-арной группы $\langle G,f\rangle$ и обозначают $ret_c\langle G,f\rangle$. Верно и обратно: в любой абелевой группе $\langle G,+\rangle$ для выбранных автоморфизма $\varphi$ и элемента $d$ с указанными выше условиями задается полуабелева $n$-арная группа $\langle G,f\rangle$. $n$-арную группу $\langle G,f\rangle$ в этом случае называют ($\varphi, d$)-определенной на группе $\langle G,+\rangle$ и обозначают $der_{\varphi,d}\langle G,+\rangle$.
Пусть $\langle G,f\rangle=der_{\varphi,d}\langle G,+\rangle$ – полуабелева $n$-арная группа. Для каждого автоморфизма $\varphi'$ группы $\langle G,+\rangle$, сопряженного автоморфизму $\varphi$, на группе $\langle G,+\rangle$ рассмотрим эндоморфизм $\mu_{\varphi'}(x)=x+\varphi'(x)+\ldots+{\varphi'}^{n-2}(x).$ $Im ~\mu_{\varphi'}$ – образ этого эндоморфизма. Пусть $\varphi'=\theta\circ\varphi\circ\theta^{-1}$. Тогда для каждого такого автоморфизма $\theta$ имеем смежный класс $\theta(d)+Im ~\mu_{\varphi'}$ по подгруппе $Im ~\mu_{\varphi'}$. Набор $\{\theta(d)+Im ~\mu_{\varphi'} ~|~ \theta\in Aut ~\langle G,+\rangle \}$ всех таких смежных классов назовем определяющим набором множеств для $n$-арной группы $\langle G,f\rangle$. Доказано, что полуабелевы $n$-арные группы $\langle G,f\rangle=der_{\varphi,d}\langle G,+\rangle$ и $\langle G,f'\rangle=der_{\psi,q}\langle G,+\rangle$ изоморфны тогда и только тогда, когда автоморфизмы $\varphi$ и $\psi$ сопряжены в группе автоморфизмов группы $\langle G,+\rangle$ и определяющие наборы множеств этих $n$-арных групп одинаковые с точностью до перестановки.
В работе изучаются конечные полуабелевы $n$-арные группы. Показано, что любая полуабелева $n$-арная группа $\langle G,f\rangle$ порядка $|G|=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\ldots p_k^{\alpha_k}$ изоморфна прямому произведению $\langle G_1,f_1\rangle\times\langle G_2,f_2\rangle\times\ldots\times\langle G_k,f_k\rangle$ $n$-арных $p_i$-групп $\langle G_i,f_i\rangle$ порядков $|G_i|=p_i^{\alpha_i}$, где $p_i$ – различные простые числа. Это разложение определено однозначно.
Опираясь на указанное разложение конечной полуабелевой $n$-арной группы в прямое произведение примарных полуабелевых $n$-арных групп и на его единственность, мы приходим к основному утверждению о конечных полуабелевых $n$-арных группах: всякая конечная полуабелева $n$-арная группа изоморфна прямому произведению примарных полуабелевых $n$-арных групп. Любые два таких разложения имеют по одинаковому числу множителей и примарные множители в этих разложениях по одному и тому же простому числу имеют одинаковые инварианты.
Доказана основная теорема о строении конечных абелевых $n$-арных групп: всякая конечная абелева $n$-арная группа изоморфна прямому призведению примарных абелевых полуциклических $n$-арных групп. Любые два таких разложения имеют по одинаковому числу множителей каждого порядка и по каждому простому делителю порядка этой $n$-арной группы произведения примарных множителей в этих разложениях имеют одинаковые инварианты.
Библиография: 18 названий.