О наилучших линейных методах приближения некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана

В статье вычислены точные значения различных поперечников в пространстве $B_{q,\gamma}$, $1\leq q\leq\infty$ с весом $\gamma$ классов $W_{q,a}^{(r)}(\Phi,\mu)$. Эти классы состоят из функций $f$, аналитических в круге $U_{R}:=\{z: |z|\leq R\} (0<R\leq 1)$, у которых производные $r (r\in\mathbb{N})$-го порядка по аргументу $f_{a}^{(r)}$ принадлежат пространству $B_{q,\gamma} (1\leq q\leq\infty, 0<R\leq 1)$, и имеют усреднённые модули гладкости второго порядка, мажорируемые заданной функцией $\Phi$, причём всюду далее предполагается, что $\Phi(t), t\geq 0$ есть произвольная непрерывная возрастающая функция такая, что $\Phi(0)=0$.
Доказаны точные неравенства между наилучшими полиномиальными приближениями аналитических в единичном круге функций и интегралами, содержащими усреднённое значение модуля гладкости второго порядка производной $r$-го порядка функции с конкретным весом, вытекающей из содержательного смысла постановки самой задачи. Полученный результат гарантирует вычисление точных значений бернштейновских и колмогоровских поперечников. Метод приближения, полученный при оценке сверху $n$-поперечника Колмогорова, опирается на оценке модуля гладкости комплексных полиномов, ранее доказанной Л. В. Тайковым.
Особый интерес представляет задача построения наилучших линейных методов приближения классов функций $W_{q,a}^{(r)}(\Phi,\mu)$ и связанные с этой задачей вычисления точных значений линейных и гельфандовских $n$-поперечников. Найденные наилучшие линейные методы зависят от заданного числа $\mu\geq 1$ и, в частности, при $\mu=1$ содержат ранее известные результаты. Также указаны в явном виде оптимальные подпространства заданной размерности, реализующие значения поперечников.
Библиография: 18 названий.