Суммы характеров по модулю свободного от кубов на сдвинутых простых

Метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами И. М. Виноградова позволил ему решить ряд арифметических проблем с простыми числами. Одна из них касается распределения значений неглавного характера на последовательностях сдвинутых простых чисел. В 1938 г. он доказал: если $q$ — простое нечётное, $(l, q)=1$, $\chi$ — неглавный характер по модулю $q$, тогда
\begin{equation} T(\chi )=\sum_{p\le x}\chi (p-l)\ll x^{1+\varepsilon} \left(\sqrt{\frac{1}{q}+\frac{q}{x}} +x^{-\frac{1}{6}}\right). \tag{IMV} \end{equation}

При $x\gg q^{1+\varepsilon}$ эта оценка нетривиальна и из неё следует асимптотическая формула для числа квадратичных вычетов (невычетов) $\mod q$ вида $p-l$, $p\le x$. Затем в 1953 г. И. М. Виноградов получил нетривиальную оценку $T(\chi )$ при $x\ge q^{0,75+\varepsilon}$, $q$ — простое. Этот результат был неожиданным. Дело в том, что $T(\chi )$ можно записать в виде суммы, по нулям соответствующей $L$ — функции Дирихле; тогда в предположении справедливости расширенной гипотезы Римана для $T(\chi )$ получится нетривиальная оценка, но только при $x~\ge~q^{1+\varepsilon}$.
В 1968 г. А. А. Карацуба нашел метод, который позволил ему получить нетривиальную оценку коротких сумм характеров в конечных полях фиксированной степени. В 1970 г. он с помощью развития этого метода в соединении с методом И. М. Виноградова доказал: если $q$ — простое, $\chi$ — неглавный характер по модулю $q$, $x\ge q^{\frac{1}{2}+\varepsilon}$, тогда
$$ T(\chi )\ll xq^{-\frac{\varepsilon^2}{1024}}. $$

В 1985 г. З. Х. Рахмонов обобщил оценку (IMV) на случай составного модуля и доказал: пусть $D$ — достаточно большое натуральное число, $\chi$ — неглавный характер по модулю $D$, $\chi_q$ — примитивный характер, порожденный характером $\chi$, тогда
$$ T(\chi )\le x\ln^5x \left(\sqrt{\frac{1}{q}+\frac{q}{x}\tau^2(q_1)} +x^{-\frac{1}{6}}\tau (q_1)\right), \qquad q_1=\prod_{\genfrac{}{}{0pt}{}{p\backslash D}{p\not\backslash q}}p. $$
Если характер $\chi$ совпадает со своим порождающим примитивным характером $\chi_q$, то последняя оценка нетривиальна при $x>q(\ln q)^{13}$.
В 2010 г. Дж. Б. Фридландер, К. Гонг, И. Е. Шпарлинский для составного $q$ показали, что нетривиальная оценка суммы $T(\chi_q )$ существует, когда $x$ — длина суммы — по порядку меньше $q$. Они доказали: для примитивного характера $\chi_q$ и всякого $\varepsilon >0$ существует $\delta >0$, что для всех $x\ge q^{\frac{8}{9}+\varepsilon}$ имеет место оценка
$$ T(\chi_q )\ll xq^{-\delta}. $$
В 2013 г. З. Х. Рахмонов для составного $q$ и примитивного характера $\chi_q$ доказал нетривиальную оценку $T(\chi_q)$ при $x\ge q^{\frac{5}{6}+\varepsilon}$.
В этой работе для модулей $q$ – свободных от кубов, доказана теорема об оценке суммы $T(\chi_q)$, являющиеся нетривиальной при $x\ge q^{\frac{1}{2}+\varepsilon}$.
Библиография: 15 названий.