Самоулучшение $L^p$-неравенства Пуанкаре при $p>0$

Классическое $(\theta,p)$-неравенство Пуанкаре на $\mathbb{R}^n$
\begin{equation*} \left(\dfrac{1}{\mu(B)}\int\limits_B \left|f(y)-\dfrac{1}{\mu(B)}\int\limits_Bf\,d\mu\right|^\theta\,d\mu(y)\right)^{1/\theta} \lesssim r_B \left(\dfrac{1}{\mu(B)}\int\limits_{B}|\nabla f|^p\,d\mu\right)^{1/p}, \end{equation*}
($r_B$ — радиус шара $B\subset\mathbb{R}^n$) обладает свойством самоулучшения — из $(1,p)$-неравенства, $1<p<n$, вытекает «более сильное» $(q,p)$-неравенство (Соболева–Пуанкаре), где $1/q=1/p-1/n$ (неравенство $A\lesssim B$ означает, что $A\le cB$ с несущественной постоянной $c$).
Такой эффект изучался в ряде работ для неравенств более общего вида
\begin{equation*} \left(\dfrac{1}{\mu(B)}\int\limits_B |f(y)-S_Bf|^\theta\,d\mu(y)\right)^{1/\theta} \lesssim\eta(r_B) \left(\dfrac{1}{\mu(B)}\int\limits_{\sigma B}g^p\,d\mu\right)^{1/p} \end{equation*}
для функций на метрическом пространстве с мерой. Здесь $f\in L^{\theta}_{\mathrm{loc}}$, $g\in L^{p}_{\mathrm{loc}}$, $S_Bf$ — некоторое число, зависящее от шара $B$ и функции $f$, $\eta$ — некоторая положительная возрастающая функция, $\sigma \ge 1$. В качестве $S_Bf$ выбиралось среднее значение функции $f$ по шару $B$ и рассматривался случай $p\ge 1$.
Мы изучаем свойство самоулучшения для таких неравенств на квазиметрических пространствах с мерой, удовлетворяющей условию удвоения с показателем $\gamma>0$. Существенным отличием нашей работы от предыдущих является рассмотрение случая $p,\theta>0$. В этой ситуации функции не обязаны быть суммируемыми и мы берем $S_Bf=I^{(\theta)}_Bf$ — наилучшее приближение постоянными в метрике пространства $L^{\theta}(B)$.
Мы доказываем, что если $\eta(t)t^{-\alpha}$ возрастает при некотором $\alpha>0$, то при $0<p<\gamma/\alpha$ и $\theta>0$ из $(\theta,p)$-неравенства Пуанкаре вытекает $(q,p)$-неравенство с $1/q>1/p-\gamma/\alpha$. При $p\ge \gamma(\gamma+\alpha)^{-1}$ (при таких $p$ функция $f$ является локально суммируемой) отсюда вытекает также $(q,p)$-неравенство с интегральными средними на месте наилучших приближений $I^{(\theta)}_Bf$.
В работе рассматриваются также случаи $\alpha p=\gamma$ и $\alpha p>\gamma$. Если $\alpha p=\gamma$, то из $(\theta,p)$-неравенства Пуанкаре вытекает $(q,p)$-неравенство с любым $q>0$ и, более того, справедливо экспоненциальное неравенство типа известного неравенства Трудингера.
Если же $\alpha p>\gamma$, то из $(\theta,p)$-неравенства Пуанкаре вытекает неравенство
\begin{equation*} |f(x)-f(y)|\lesssim \eta(d(x,y))[d(x,y)]^{-\gamma/p}\lesssim[d(x,y)]^{\alpha-\gamma/p} \end{equation*}
для почти всех $x$ и $y$ из любого фиксированного шара $B$ ($\lesssim$ зависит от $B$).
Библиография: 15 названий.