Эргодические свойства потоков целых точек на некоторых гиперболоидах в связи с гипотезами для $L$-функции Дирихле

Работа посвящена изучению связи теории распределения целых точек на простейшем гиперболоиде с некоторыми гипотезами для $L$-функции Дирихле.
При применении дискретного эргодического метода (далее ДЭМ), разработанного Ю. В. Линником (см. [1, 2]) к задаче распределения целых точек на гиперболоидах $x_1 x_3 - x_2^2 = m$ (так же как и в случае сферы) в формулировках теорем об асимптотически равномерном распределении целых точек участвует некоторое вспомогательное простое число $p$ такое, что символ Лежандра $\left(\frac{-m}{p}\right)=1$. В эргодических теоремах и теоремах перемешивания для целых точек наличие такого простого числа было естественным, так как оно порождало поток примитивных точек, используемый в ДЭМ при выводе асимптотических формул для числа целых точек на сфере и на гиперболоиде.
Представляет большой интерес получение остаточных членов в асимптотических формулах для целых точек по областям на сфере и на гиперболоиде в рамках используемого ДЭМ (см. [2, 3]).
Исследования в этом направлении для целых точек на эллипсоидах проводились А. В. Малышевым и автором [3], а также Е. П. Голубевой [4, 5] методом А. И. Виноградова [6], являющегося развитием дисперсионного метода Ю. В. Линника [7].
Оказывается, что некоторые ослабленные гипотезы для $L$-функции Дирихле, непосредственно следующие из расширенной гипотезы Римана позволяют устранить указанный недостаток.
Учитывая это обстоятельство в сочетании с тем, что А. В. Малышевым и Б. М. Широковым в [8] получено новое доказательство ключевой леммы ДЭМ для гиперболоидов обоих видов, мы проводим соответствующее исследование.
В нашей работе исследование ведется сразу для обоих случаев простейших гиперболоидов и в сочетании с использованием некоторых гипотез о поведении $L$-функции Дирихле получаем значительное упрощение рассуждений и улучшение формулировок результатов.
В связи с нашим исследованием отметим так же, что Дьюк [9] методом модулярных форм с использованием результатов Иванца [10] получил асимптотическую формулу с безусловным остаточным членом для числа целых точек в областях на простейшем гиперболоиде. Но в [9] в отличие от нашей работы не рассматривалось распределение целых точек по классам вычетов по заданному модулю. В связи с этим возникает интересная задача по перенесению результатов Дьюк [9] на распределение целых точек простейшего гиперболоида по прогрессиям, т.е. по классам вычетов.
Библиография: 17 названий.