О целых алгебраических числах и унитарных многочленах второй степени

В статье рассматриваются алгебраические целые числа второй степени и приводимые квадратичные унитарные многочлены с целыми коэффициентами.
Пусть $Q\ge 4$ — целое число. Пусть $\Omega_n(Q,S)$ — количество целых алгебраических чисел степени $n$ и высоты $\le Q$, принадлежащих множеству $S\subseteq\mathbb{R}$. В работе уточнён остаточный член в асимптотической формуле для $\Omega_2(Q,I)$, где $I$ — произвольный отрезок.
Обозначим через $\mathcal{R}(Q)$ множество приводимых унитарных многочленов второй степени с целыми коэффициентами и высотой $\le Q$. Получена формула
$$ \#\mathcal{R}(Q) = 2 \sum_{k=1}^Q \tau(k) + 2Q + \left[\sqrt{Q}\right] - 1, $$
где $\tau(k)$ — количество делителей числа $k$.
Показано также, что количество вещественных целых алгебраических чисел второй степени и высоты $\le Q$ имеет асимптотику
$$ \Omega_2(Q,\mathbb{R}) = 8 Q^2 - \frac{16}{3}Q\sqrt{Q} - 4Q\ln Q + 8(1-\gamma) Q + O\!\left(\sqrt{Q}\right), $$
где $\gamma$ — постоянная Эйлера.
Известно, что функция плотности распределения алгебраических целых степени $n$ равномерно стремится к плотности алгебраических чисел степени $n-1$. Мы показываем, что при $n=2$ интеграл от их разности имеет ненулевой предел при стремлении высоты чисел к бесконечности.
Библиография: 17 названий.