Распределение специальных алгебраических точек в областях малой меры

Задачи о распределении алгебраических чисел и точек с алгебраически сопряженными координатами являются естественным продолжением задач о целых и рациональных точках в фигурах и телах евклидова пространства.
В данной статье мы исследуем вопрос о распределении специальных алгебраических точек $\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1,\alpha_2)$, координаты которых являются алгебраически сопряженными числами ограниченной степени и высоты с дополнительным условием: производная их минимального многочлена принимает малые значения в точках $\alpha_1$ и $\alpha_2$. Такие точки возникают в задачах, связанных с классификациями чисел Малера [1], предложенной в 1932 году, и Коксма [2], предложенной несколько позднее в 1939 году. Одной из таких задач является проблема существования Т-чисел в классификации Малера. Около 40 лет было неясно, существуют ли такие числа или этот класс пуст, и только в 1970 году в работе В. Шмидта [3] было показано, что класс Т-чисел непустой и предложена конструкция данных чисел. Другая проблема — это вопрос о различии классификаций Малера и Коксма. В 2003 году Я. Бюжо опубликовал работу [4], в которой доказано, что существуют числа, для которых характеристики Малера и Коксма различны. Для доказательства данных фактов используются специальные алгебраические точки $\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1,\alpha_2)$, рассмотренные в статье.
Мы рассматриваем специальные алгебраические точки $\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1,\alpha_2)$ такие, что высота алгебраических чисел $\alpha_1$ и $\alpha_2$ не превосходит $Q$, а их степень не превосходит $n$ и модуль производной их минимального члена $P(t)$ принимает следующие значения: $|P'(\alpha_1)|\leq Q^{1-v_1}$ и $|P'(\alpha_2)|\leq Q^{1-v_2}$ при $0<v_1,v_2<1$. В работе найдены точные оценки сверху и снизу для количества специальных алгебраических точек в прямоугольниках, мера Лебега которых имеет порядок $Q^{-1+v_1+v_2}$.
Библиография: 22 названия.